Развертки гранных поверхностей

Определение. Разверткой гранной поверхности называется множество соеди­ненных в плоскости многоугольников, конгруэнтных (равных) соответственно ее граням. Под соединением понимается последовательное размещение много­угольников развертки, которое соответствует последовательному расположению граней поверхности.

Пример Дана пирамида SABC (рисунок 1). Построить развертку ее поверхности.

Основание ABC пирамиды принадлежит плоскости проекций П1, поэтому ∆A1B1C1 – его НВ. Для определения НВ боковых ребер пирамиды воспользуемся методом прямоугольного треугольника. SS0 ⊥ х – общая разность высот концов ребер данной пирамиды. Откладывая от точки S по оси Х отрезки SB = S1B1, SC = S1C1, SA = S1A1, получаем S0В, S0С, S0А – НВ ребер пирамиды. Затем в стороне, используя известные правила построения треугольника по его сторонам, выполняем собственно построения развертки пирамиды.

Рисунок 1

Пример Дана трехгранная призма ABCDFE (рисунок 2). Построить развертку ее боковой поверхности.

Основания ABC и DFE данной призмы параллельны плоскости проекций П1 и, следовательно, проецируются на эту плоскость в НВ. Каждую из боковых гра­ней призмы представляем в виде двух треугольников, разделив грань диагональю. По методу прямоугольного треугольника определяем НВ трех диагоналей BD, BE и CD и одного ребра (ребра по условию задачи равны). В итоге на диаграмме натуральных величин отрезков получаем: MN – общая разность высот ребер; N1 = A1D1 = B1F1 = C1E1; N2 = D1C1, N3 = B1D1, N4 = B1E1; M1 – НВ ребра, М2 – НВ диагонали DC, М3 – НВ диагонали BD и М4 – НВ диагонали ВЕ. Имея НВ ребер призмы, трех ее диагоналей и сторон треугольников оснований, строим развертку боковой поверхности как совокупности треугольников, выстраиваемых по их сторонам.

Рисунок 2

Метод, которым были построены развертки в рассмотренных двух задачах, называется методом треугольников (метод триангуляции). Метод основан на воз­можности построения единственного (по форме) треугольника по его заданным сторонам. Заметим, что четыре, пять, …. отрезков определяют бесконечное мно­жество четырех, пяти, …. угольников. Метод треугольников наиболее прост и универсален при построении точных разверток гранных поверхностей, а также приближенных и условных разверток линейчатых поверхностей.

Рассмотрим специальные способы построения разверток гранных поверхностей:

· способ раскатки;

· способ нормального сечения;

Пример Дана трехгранная призма АВСА¹В¹С¹(рисунок 3). Построить развертку призмы.

Рисунок 3

Для построения развертки применим метод нормального сечения. Метод применим для призматических поверхностей, у которых боковые ребра представляют собой линии уровня. Последовательность построений в методе нормального сечения следующая:

1) призма рассекается плоскостью ∆ перпендикулярно ее ребрам;

2) определяются НВ сторон многоугольника, по которым плоскость ∆ пересекает поверхность призмы;

3) многоугольник как ломаная линия разворачивается в отрезок прямой, внут­ри которой отмечаются точки, соответствующие вершинам многоугольника;

4) через эти точки проводятся прямые, перпендикулярные отрезку – развертке многоугольника;

5) на перпендикулярных прямых от указанных точек откладываются отрезки, представляющие НВ соответствующих отрезков ребер пирамиды;

6) концы отрезков ребер последовательно соединяются отрезками прямых линий;

7) к построенной развертке боковой поверхности достраиваются НВ многоугольников – оснований призмы.

Применим изложенную последовательность к нашей задаче. Поскольку ребра призмы АА¹, ВВ¹, СС¹ по условию задачи являются горизонталями, то А¹А¹1, В¹В¹1, С¹С¹1 есть НВ этих ребер. Рассечем боковую поверхность призмы плоскостью ∆, перпендикулярной ее ребрам. Поскольку ребра являются горизонталями, то ∆ ⊥ П1 и ∆1 – горизонтальный след плоскости ∆. 112131 и 122232 – проекции нормального сечения призмы. Проекция ∆ 142434 представляет собой НВ нормального сечения, построенную методом замены плоскостей проекций, где х1 // ∆1. В стороне, на горизонтальной прямой, последовательно располагаем отрезки 13 = 1434, 32 = 3424, 21 = 2414 и проводим через их концы вертикальные прямые. На этих прямых откладываем отрезки: 1В = 11В1, 1В¹ = 11В1¹; 3С = 31С1, 3С¹ = 31С1¹; 2А = 21А1, 2А¹ = 21А1¹. Многоугольник ВСАВВ¹А¹С¹В¹ представляет собой развертку боковой поверхности заданной призмы. Достроив к ней ∆АВС и ∆А¹С¹В¹ , получаем полную развертку призмы.

Пример Дана призма АВСА¹С¹В¹ (рисунок 4). Построить ее развертку.

Рисунок 4

Для построения развертки призмы можно использовать метод раскатки.

Его применение возможно для таких призматических поверхностей, у которых боковые ребра и плоскости оснований являются прямыми и плоскостями уровня. Суть метода заключается в последовательном вращении граней призмы вокруг ее боко­вых ребер до положения совмещения с плоскостью, которая проходит через одно из ребер и параллельна плоскости проекций, т.е. каждая грань оставляет свой «отпечаток» в этой плоскости. Множество последовательно полученных и расположенных «отпечатков» в плоскости представляет собой развертку боковой поверхности призмы.

Рассмотрим решение данной задачи.

Боковые ребра призмы являются фронталями, а плоскости оснований – горизонтальными плоскостями уровня.

Условия задачи соответствуют методу раскатки. Пусть первое вращение – вращение грани АСС¹А¹, происходит вокруг оси СС¹. Повернем эту грань до совмещения с плоскостью развертки, проходящей через ребро СС¹ и параллельной плоскости проекций П2. В этом случае вершины А и А¹ будут вращаться в проецирующих плоскостях Ф⊥ П2 и Ф¹ ⊥ П2 соответственно, которые перпендикулярны ребру АА¹. Совмещенные положения A⁰ и A⁰¹ вершин А и А¹ будут принадлежать фронтальным следам Ф2 и Ф2¹ плоскостей Ф и Ф¹ соответственно и отстоять от точек С2 и С2¹ на расстоянии С2A⁰= C2¹A⁰¹ = А1С1 = А1¹С1¹ . Следующим вращением вокруг оси A⁰A⁰¹ добиваемся совмещения грани АВВ¹А¹ с плоскостью развертки. При этом совмещенные положения B⁰ и B⁰¹ вершин В и В¹ соответственно будут принадлежать фронтальным следам ∆2 и ∆2¹ плоскостей ∆⊥ П2 и∆¹ ⊥ П2 и отстоять от точек A⁰ и A⁰¹ на расстоянии B⁰A⁰ = B⁰¹A⁰¹ = В1А1 = В1¹А1¹. Последнее, третье вращение, будет происходить вокруг оси B⁰B⁰¹ и позволит получить совмещение грани ВСС¹В¹ с плоскостью развертки, при этом совмещенные положения C⁰ и C⁰¹ вершин С и С¹ будут принадлежать фронтальным следам Σ2 и Σ2¹ проецирующих плоскостей Σ⊥ П2 и Σ¹ ⊥ П2 и отстоять от точек B⁰ и B⁰¹ на расстоянии C⁰B⁰ = C⁰¹B⁰¹ = С1В1 = С1¹В1¹. Полученный в итоге построений многоугольник С2A⁰B⁰C⁰C⁰¹B⁰¹A⁰¹С2¹ будет представлять собой развертку боковой поверхности заданной призмы.

Поиск по сайту: