Предельный признак Даламбера

Теорема1.

Конечная форма признака Даламбера.

Пусть для ряда (1)

с положительными членами для всех номеров или по крайней мере начиная с некоторого номера выполняется неравенство , , тогда ряд сходится, если выполняется неравенство тогда расходится.

Предельный признак Даламбера.

Пусть для ряда с положительными членами существует предел (2)

Доказательство конечной формы: Пусть и пусть , т.е. , , тогда

;

;

…

…

Т.е. члены ряда меньше соответствующих членов ряда, составленного из элементов геометрической прогрессии

(3)

И так как ряд (3), являясь суммой бесконечной убывающей геометрической прогрессии со знаменателем сходится, то по признаку сравнения сходится и исходный ряд (1).

Если же выполняется неравенство , то

;

;

…

И так как, по предположению, , то -ый член ряда, будучи ограничен снизу положительной постоянной, не стремится к нулю. Следовательно, не выполняется необходимое условие сходимости ряда, поэтому ряд расходится.

Доказательство предельной формы: Пусть существует предел . Выберем такое, что и . По определению предела последовательности для указанного найдется , что выполняется неравенство:

. (2)

В силу конечной формы признака Даламбера правое неравенство (2) означает, что ряд сходится.

Пусть . Тогда , что выполняется левое из неравенств (2), т.е. , то есть . Поэтому не стремится к нулю при , необходимый признак сходимости ряда не выполнен, ряд расходится.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Здесь , . Следовательно,

.

Так как , то по признаку Даламбера данный ряд сходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Данный ряд расходится, т.к. по признаку Даламбера

.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Здесь , . Следовательно,

.

Так как , то по признаку Даламбера данный ряд расходится.

Поиск по сайту: