Предельная форма радикального признака Коши

Пусть для ряда (1) с неотрицательными членами существует (3)

Доказательство конечной формы:. Пусть . Тогда , следовательно ряд сходится по первому признаку сравнения с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Пусть . Тогда , ряд расходится, так как необходимый признак сходимости ряда не выполнен.

Доказательство предельной формы: Для доказательства теоремы следует дословно повторить схему доказательств теоремы 2 (предельную форму), заменив во всех рассуждениях на .

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Здесь . Так как , то по радикальному признаку Коши данный ряд сходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Здесь . Следовательно,

.

Так как , то по радикальному признаку Коши данный ряд расходится.

Теорема3.

Интегральный признак Коши. (признак Коши-Маклорена (Колин Маклорен (1698–1746) – шотландский математик)) Пусть дан ряд

, (4)

где , причем функция , , неотрицательна, непрерывна и не возрастает. Тогда данный ряд и несобственный интеграл: (5)

относительно сходимости ведут себя одинаково: либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Доказательство:

В силу того что функция не возрастает на интервале , следовательно справедливы неравенства:

для (6)

Проинтегрируем неравенство 6 на отрезке (рис.1)

или (7)

Неравенства (7) установлены нами для любого . Зафиксируем и запишем неравенства (7) для значений :

,

…

.

Складывая почленно записанные неравенства, получим (рис.2)

Обозначим частичную сумму ряда (4) через :

, интеграл через , тогда

(8) Если интеграл (5) сходится, следовательно, последовательность ограничена: (9)

Из неравенства (9) при вытекает, что последовательность частичных сумм ограничена сверху и возрастает, следовательно, по критерию сходимости ряд (4) сходится. Если ряд (4)сходится, то из правой части неравенства (8) вытекает, что последовательность ограничена, следовательно, интеграл (5) сходится.

Пример 6. Исследовать на сходимость гармонический ряд ;

Применим интегральный признак Коши-Маклорена

а) непрерывная и монотонно убывающая

– ряд расходится;

Пример 7. Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд , .

Решение. Здесь , . Необходимое условие сходимости ряда выполняется при . Условия приложимости признака выполняются при , так как функция непрерывна, положительна, монотонно убывает и при . Исследуем несобственный интеграл на сходимость при . Имеем

При (сходится). При (расходится). При (расходится).

Следовательно, при исследуемый ряд сходится, а при расходится.

Числовые ряды

Признак Даламбера, радикальный признак Коши. Интегральный признак Коши.

1. Теорема1.Конечная и предельная форма признака Даламбера.

2. Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .

3. Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

4. Пример 3. Исследовать на сходимость ряд .

5. Теорема2.Конечная и предельная форма признака Коши.

6. Пример 4. Исследовать на сходимость ряд .

7. Пример 5. Исследовать на сходимость ряд .

8. Теорема 3. Интегральный признак Коши.

9. Пример 6. Исследовать на сходимость гармонический ряд ;

10. Пример 7. Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд , .

Поиск по сайту: