 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Замена переменных в тройном интеграле
16.2.5.1. Теорема о замене переменных в тройном интеграле. Пусть в пространстве Ouvw задана область G, и пусть отображение 
преобразует эту область в область V пространства Oxyz. Будем считать, что отображение F задаётся функциями 
. Пусть: 1). F взаимно однозначно отображает G на V;2). Функции x ( u,v,w ), y ( u,v,w ), z(u,v,w) непрерывно дифференцируемы на G (имеют непрерывные частные производные); 3). Якобиан 
не обращается в нуль на G. Тогда 
.
16.2.5.2. Тройной интеграл в цилиндрических координатах. В этой координатной системе положение точки в пространстве характеризуется тремя числами: r, j и z, где r и j - полярные координаты проекции M1
точки М на плоскость Оху, z - аппликата точки M. Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым:
Вычислим якобиан этого преобразования: 
, следовательно, 
.
16.2.5.3. Тройной интеграл в сферических координатах. В этих координатах положение точки M в пространстве характеризуется тремя числами: r, j и 
, где r - длина радиуса-вектора точки M, j - полярный угол проекции M1 точки М на плоскость Оху, - угол между радиусом-вектором точки M и осью Oz. Формулы перехода от сферических координат к декартовым:
Вычислим якобиан этого преобразования: 
, следовательно, 
.
16.2.6. Механические приложения тройного интеграла. Пусть V - тело в пространстве, в котором задано распределение объёмной плотности массы 
(
, 
, где G - область, содержащая точку Р, 
- масса этой области, 
- её объём). Вывод следующих формул полностью аналогичен выводу для двумерного случая (раздел 16.1.7.4. Механические приложения двойного интеграла), поэтому просто перечислим их.
Масса тела 
;
координаты центра тяжести 
, 
, 
; 
моменты инерции 
(относительно плоскости Oxz), 
(относительно плоскости Oyz), 
(относительно плоскости Oxy), 
(относительно оси Ox), 
(относительно оси Oy), 
(относительно оси Oz), 
(относительно начала координат).
Примеры. 1. Найти координаты центра тяжести половины шара радиуса 
, если плотность пропорциональна расстоянию от центра шара.
Решение. Если ввести координатную систему так, как показано
на рисунке, то 
; вычисления ведём, естественно, в сферических координатах:
; 
, аналогично 
(что, впрочем, очевидно и без вычислений); 
.
2. Найти моменты инерции однородного 
цилиндра относительно диаметра основания и оси.
Решение. Если система координат введена так, как показано на рисунке, то мы должны найти 
(или 
) и 
. Вычисляем в цилиндрических координатах. 
.
.
Поиск по сайту: