Дифференциал функции двух переменных и его применение

Рассмотрим функцию двух переменных . Пусть каждый аргумент , получил приращение и и стал равным и , т.е. точка «перешла» в точку .

· Приращение функции по переменным и

называется полным приращением функции в точке .

Пример 1. Для функции полное приращение:

Таким образом, в полном приращении функции можно выделить слагаемые, линейные относительно приращений аргументов и :

.

Нетрудно видеть, что коэффициенты при приращениях и есть частные производные функции по и по :

, .

· Часть полного приращения функции, линейная относительно приращений аргументов и ,называется полным дифференциалом функции иобозначается : .

Так как для независимых переменных и их дифференциалы равны приращениям , , то полный дифференциал функции равен .

Дифференциал функции равен .

· Функция , имеющая дифференциал в точке , называется дифференцируемой в данной точке .

Итак, если функция дифференцируема в точке , то она имеет частные производные в этой точке

Пример 2. Полный дифференциал для равен .

Рассмотрим применение полного дифференциала для приближенных вычислений. При малых приращениях аргументов , полное приращение функции приближенно равно полному дифференциалу :

, или .

Выразим значение функции:

.

Формула «полных приращений» позволяет приближенно вычислить значение функции в точке , если известны значения функции и ее частных производных в ближайшей точке .

Пример 3. Вычислить .

Воспользуемся функцией и вычислим ее значение в точке . Ближайшей точкой является точка , то есть , . Приращение аргументов и .

Найдем значения функции и частных производных в точке :

;

; тогда ;

; тогда .

Подставим найденные значения в формулу полных приращений, получим .

Поиск по сайту: