Частные производные

Ограничимся случаем функции двух переменных (для большего числа переменных аналогично).

§ Пусть функция определена в окрестности точки . Придадим переменной в точке приращение , оставляя значение переменной неизменным. Соответствующее приращение функции

называется частным приращением функции по переменной в точке .

Аналогично определяется частное приращение функции по переменной : .

§ Частной производной функции двух переменных по переменной в точке называется конечный предел отношения частного приращения функции по переменной к приращению этой переменной при стремлении к нулю приращения :

.

Обозначается частная производная по символами: , , , .

§ Частной производной функции по переменной называется предел:

.

Обозначения: , , , .

Частные производные можно рассматривать как скорости изменения функции относительно одной из переменных (в направлении соответствующей оси координат). Для нахождения частной производной по переменной используются правила дифференцирования функции одной переменной, считая переменную постоянной.. Аналогично, для нахождения частной производной по переменной постоянной считается переменная .

Пример 4. Для функции найти частные производные , и вычислить их значения в точке .

Решение

Частная производная функции по переменной находится в предположении, что постоянна:

.

Найдем частную производную функции по , считая постоянной :

.

Вычислим значения частных производных при , :

; .

Поиск по сайту: