Локальный экстремум

· Значение называется максимумом функции двух переменных , если оно является наибольшим в некоторой окрестности точки , т.е. в этой окрестности выполняется неравенство . Точка называется точкой максимума.

· Для минимума функции: .

· Максимумы и минимумы функции называются экстремумами функции.

На рисунке точка является точкой максимума функции.

· Точка называется стационарной точкой функции , если она является внутренней точкой области определения функции и все частные производные первого порядка в ней равны нулю.

· Точка , в которой частные производные равны нулю или не существуют, называется критической точкой функции .

Таким образом, точки экстремума следует искать среди ее критических точек.

Теорема

(необходимый признак экстремума функции двух переменных)

Пусть дифференцируемая функция имеет экстремум во внутренней точке области определения. Тогда в точке значения всех частных производных первого порядка функции равны нулю:

Таким образом, для нахождения точек возможного экстремума функции нужно решить систему уравнений

Для функций нескольких переменных достаточные признаки экстремума более сложные, чем для функции одной переменной. Сформулируем достаточный признак экстремума функции двух переменных .

Теорема

(достаточный признак экстремума функции двух переменных)

Пусть в точке частные производные первого порядка функции равны нулю . Обозначим через число

.

Если , то в точке функция имеет локальный экстремум, причем если , то локальный максимум, а если , то локальный минимум.

Если , то в точке функция не имеет экстремум.

Если , то вопрос о наличии экстремума в точке остается открытым (требуются дополнительные исследования).

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию .

Решение

1) Найдем критические точки (возможного экстремума) функции, приравняв к нулю первые частные производные:

(необходимые условия экстремума). Отсюда Выразим и подставим во второе уравнение:

; ; ; .

Решением уравнения являются числа , (комплексные корни уравнения не принимаем во внимание.)

Находим значения , соответствующие значениям , . Из уравнения имеем , . Получены две критические точки и .

2) Исследуем обе критические точки на экстремум, применяя достаточн ое условие экстремума.

Найдем частные производные второго порядка:

; ; .

Найдем выражение и вычислим его значения в точках и .

А) Для критической точки получим:

,

значит, в точке функция не имеет экстремума.

Б) Для критической точки получим:

,

значит, в точке функция имеет экстремум. Поскольку , то функция имеет максимум.

3) Вычислим значение функции в точке максимума :

.

Ответ: .

Поиск по сайту: