Эвристические методы поиска экстремума. Метод Монте-Карло

Ме́тод Мо́нте-Ка́рло (методы Монте-Карло, ММК) — общее название группы численных методов, основанных на получении большого числа реализаций стохастического(случайного) процесса, который формируется таким образом, чтобы его вероятностные характеристики совпадали с аналогичными величинами решаемой задачи. Используется для решения задач в различных областях физики, химии, математики, экономики, оптимизации, теории управления и др.

Предположим, требуется вычислить определённый интеграл

Рассмотрим случайную величину , равномерно распределённую на отрезке интегрирования . Тогда также будет случайной величиной, причём еёматематическое ожидание выражается как
, где — плотность распределения случайной величины , равная на участке .

Таким образом, искомый интеграл выражается как
.

Но матожидание случайной величины можно легко оценить, смоделировав эту случайную величину и посчитав выборочное среднее.

Итак, бросаем точек, равномерно распределённых на , для каждой точки вычисляем . Затем вычисляем выборочное среднее: .

В итоге получаем оценку интеграла:

Точность оценки зависит только от количества точек .

Этот метод имеет и геометрическую интерпретацию. Он очень похож на описанный выше детерминистический метод, с той разницей, что вместо равномерного разделения области интегрирования на маленькие интервалы и суммирования площадей получившихся «столбиков» мы забрасываем область интегрирования случайными точками, на каждой из которых строим такой же «столбик», определяя его ширину как , и суммируем их площади.

Поиск по сайту: