Основания теории оптимизации (теоремы о необходимости и достаточности существования экстремума функции многих переменных)

Необходимые условия экстремума.

Пусть функция u=f(x 1,x 2,…,x n) определена в области D и (x 1 0,x 2 0,…,x n 0) будет внутренней точкой этой области.

Говорят, что функция u=f(x 1,x 2,…,x n) в точке (x 1 0,x 2 0,…,x n 0) имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью

(x 1 0 x 1 0 x 2 0 x 2 0 x n 0 x n 0)

что бы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство

f(x 1,x 2,…,x n)<f(x 1 0,x 2 0,…,x n 0)

Если эту окрестность взять настлько малой, что бы знак равенства был исключён, т. е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки (x 1 0,x 2 0,…,x n 0) выполнялось строгое неравенство

f(x 1,x 2,…,x n)<f(x 1 0,x 2 0,…,x n 0)

то говорят, что в точке (x 1 0,x 2 0,…,x n 0) имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.

Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин – экстремум.

Предположим, что наша функция в некоторой точке (x 1 0,x 2 0,…,x n 0) имеет экстремум,

Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные

f x1 ’(x 1 0,x 2 0,…,x n 0),…, f ’ xn (x 1 0,x 2 0,…,x n 0)

то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производныхпервого порядка является необходимым условием существования экстремума.

С этой целью положим x 2 =x 2 0,…,x n = x n 0 сохраняя x 1 переменным; тогда у нас получится функция от одной переменной x 1:

u=f(x 1, x 2 0,…,x n 0)

Так как мы предположили, что в точке (x 1 0,x 2 0,…,x n 0) существует экстремум (для определенности - пуcть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности(x 1 0 -, x 1 0 +) точки x 1 = x 1 0, необходимо должно выполняться неравенство

f(x 1, x 2 0,…,x n 0)< f(x 1 0,x 2 0,…,x n 0)

так что упомянутая выше функция одной переменной в точке x 1 = =x 1 0 будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что

f x1 ’(x 1 0,x 2 0,…,x n 0)=0

Таким образом можно показать, что в точке (x 1 0,x 2 0,…,x n 0) и остальные частные производные равны нулю.

Итак, “подозрительными” на экстремум являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений

f x1 ’(x 1 0,x 2 0,…,x n 0)=0

f ’ xn (x 1 0,x 2 0,…,x n 0)=0

Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными.

Замечения:Необходимое условие существования экстремума в случае дифференцируемой функции кратко можно записать так:

d f(x 1,x 2,…,x n)=0

так как, если f x1 ’= f x2 ’=…= f ’ xn, то каковы бы ни были dx 1,dx 2,…,dx n всегда

f(x 1,x 2 d,…,x n)= f x1 ’ dx 1 + f x2 ’ dx 2 +…+ f ’ xn dx n =0

И обратно: если в данной точке тождественно выполняется это условие, то ввиду произвольности dx 1,dx 2,…,dx n производные f x1 ’, f x2 ’,…, f ’ xn порознь равны нулю.

Обычно, рассматриваемая функция f(x 1,x 2,…,x n) имеет (конечные) частные производные во всей области, и тогда точки, доставляющие функции экстреммы, следует искать лишь среди стационарных точек. Однако встречаются случаи, когда в отдельных точках некоторые частные производные имеют бесконечные значения или вовсе не существуют (в то время как остальные равны нулю). Подобные точки, собственно, тоже следует причислить к “подозрительным” по экстремуму, наряду со стационарными.

Иногда дается и не прибегая к достаточным условиям выяснить характер стационарной точки функции. Так, если из условия задачи непременно следует, что рассматриваемая функция имеет где-то максимум или минимум и при этом системе уравнений (5.1) удовлетворяет только одна точка, то ясно, что эта точка и будет искомой точкой экстремума функции.

Заметим, наконец, что точками экстремума непрерывной функции могут быть точки, в которых функция недифференцируема (им соответствуюя, например, острия поверхности – графика функции).

5.2.Достаточные условия экстремума.

Так же как и для функции одной переменной, необходимый признак экстремума в случае многих переменных не является достаточным. Это значит, что из равенства нулю частных производных в данной точке вовсе не следует, что этаточка обязательно является точкой эксремума.

Достаточные условия экстремума для функций нескольких переменных носит значительно более сложный характер, чем для функции одной переменной.

Пусть функция f(x 1,x 2,…,x n) определена, непрерывна и имеет непрерывные производные первого и второго порядковокрестности некоторой стационарной точки (x 1 0,x 2 0,…,x n 0).Разлагая разность

= f(x 1,x 2,…,x n)-f(x 1 0,x 2 0,…,x n 0)

по формyле Тейлора, получим

= { f x ’’ x 1 2 +f x ’’ x 2 2 +…+f x ’’ x n 2 +2f x1x2 ’’ x 1 x 2 + +2f x1x3 ’’ x 1 x 3 +…+2f xn-1xn ’’ x n-1 x n }= f xixj ’’ x i x j

где x= x i -x i 0; производные все вычеслены в некоторой точке

(x 1 0 +0 x 1, x 2 0 +0 x 2,…, x n 0 +0 x n) (0<0<1)

Введём и здесь значения

f xixj ’’ (x 1 0,x 2 0,…,x n 0)=a ik (i,k=1,2,…,n) (5.2)

так что

f xixj ’’ (x 1 0 +0 x 1, x 2 0 +0 x 2,…, x n 0 +0 x n)= a ik + ik

и

ik 0 при x 1 0,…, x n 0 (5.3)

Теперь интеесующее нас выражение можно написать в виде:

= { a ik x i x k + ik x i x k } (5.4)

На первом месте в скобках здесь стоит второй дифференциал функции f в рассматриваемой точке: он представляет собой однородный одночлен второй степени или, как говорят, квадратичную форму от переменных x 1,…, x n. От свойств этой квадратичной формы, как мы увидим, и зависит решение интересующего нас вопроса.

В высшей алгебре квадратичную форму

a ik y i y k (a ik = a ki) (5.5)

от переменных y 1,…,y n называют определенной положительно (отрицательно), если она имеет положительные (отрицательные) значения при всех значениях аргументов, не равных одновременно нулю.

Необходимое и достаточное условие для того, чтобы форма (5.5) была определенной и положительной принадлежит,как было уже сказано выше, Сильвестеру (J.J.Sylvester). Оно выражается цепью неравенств:

Поиск по сайту: