Положительно (отрицательно) определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра

Вещественная квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если для любых . Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы называются определенными (знакоопределенными). Если неравенство выполняется для любых значений , то квадратичная форма называется неотрицательно (неположительно) определенной. В этом случае говорят, что квадратичная форма полуопределенная. Если же квадратичная форма принимает как положительные, так и отрицательные значения, то она называется неопределенной (знакопеременной). Определенность, полуопределенность и неопределенность квадратичных форм обозначается неравенствами

соответственно.
Поскольку каждой вещественной квадратичной форме соответствует ее матрица, то эта терминология переносится на действительные симметрические матрицы. Например, симметрическая матрица называется положительно определенной, если такой является квадратичная форма . Определенность, полуопределенность и неопределенность симметрической матрицы обозначаются неравенствами

соответственно.

Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.

Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу

Тогда эта форма положительно определена, тогда и только тогда когда все её главные (угловые) миноры положительны. Форма отрицательно определена, если и только если знаки чередуются, причём . Здесь главными минорами матрицы называются определители вида

Теорема (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма была положительно определённой, необходимо и достаточно чтобы все угловые миноры матрицы квадратичной формы были положительны, то есть, чтобы

Здесь - угловые миноры матрицы квадратичной формы.

Следствие. Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определённой, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров матрицы квадратичной формы чередовались следующим образом:

Поиск по сайту: