Критерий Байеса

В качестве априорной информации наблюдатель должен знать матрицу потерь , функцию правдоподобия , , вероятности состояний источника , таких, что , т.е. источник информации должен находиться в одном из двух возможных состояний.

Запишем матрицу потерь ,

где , ,, , — потери при принятии гипотезы в то время, как источник находится в состоянии . Обычно — потери при правильных решениях должны быть меньше потерь из-за неправильных решений.

Вычислим средние условные потери (условные риски) при верности гипотез и

+

+

Безусловный риск (функция среднего риска) запишется как

Перепишем средний риск в виде, удобном для анализа,

(4.3)

В полученном выражении вероятности и зависят от выбора подмножества , а вероятность зависит от выбора подмножества .

В силу того, что подмножества и дополняют друг друга до G, то достаточно указать, как выбирать , чтобы минимизировать . Область называется критической. Чтобы привести области интегрирования к одной области , произведем замену . Тогда средний риск будет иметь вид

(4.4)

Из выражения (4.4) видно, для минимизации среднего риска необходимо иметь максимально положительное значение интеграла. Если подынтегральная функция будет принимать положительные значения на множестве , то значения интеграла будут неотрицательны. Принимая это во внимание, отберём из множества те значения , которые обеспечивают не отрицательность подынтегральной функции. Это множество значений составляет подмножество из множества , т.е. в подмножество включены точки которые удовлетворяют условию

или

. (4.5)

При вычислении среднего риска интегрирование производилось по области . Поэтому правилом принятия гипотезы будет выполнение неравенства (4.5). Нарушение неравенства (4.5) говорит о том, что вероятность получить выборку фиксированного вида при состоянии источника больше, по сравнению с вероятностью получить ту же самую выборку при состоянии источника . Поэтому при нарушении неравенства (4.5) гипотезу отвергают и более целесообразно считать правдоподобной гипотезу : .

Правая часть неравенства (4.5) постоянна и не зависит от выборки и это отношение , зависящее только от априорных сведений, называется порогом Байеса.

Левая часть неравенства (4.5) представляет отношение правдоподобия. Перепишем неравенство (4.5) в виде

, (4.6)

в котором символы и указывают, какие гипотезы следует принять при выполнении соответствующего неравенства.

Если случайные величины независимы, отношение правдоподобия в неравенстве (4.6) примет вид

. (4.7)

Неравенство(4.7) является правилом обработки последовательности независимых наблюдений по критерию Байеса.

Поиск по сайту: