Функционал правдоподобия

Ранее рассматривалась проблема проверки гипотез с использованием выборок в дискретные моменты времени и функции правдоподобия. Однако в некоторых задачах удобнее пользоваться непрерывным описанием случайного процесса . Для этой цели вводятся функционал правдоподобия и функционал отношения правдоподобия. Так же положим, что выборочные значения шума распределены по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и ковариационной матрицей порядка с элементами = :

, (5.1)

где = , – матрица, обратная матрице , – определитель матрицы .

Элементы обратной матрицы равны , где – алгебраическое дополнение к элементу матрицы .

В зависимости от вида корреляционной функции шума, детерминант , зависящий от свойств шума и являющийся функцией числа наблюдений и интервала дискретизации , при , (), принимает всевозможные значения от нуля до бесконечности.

Пример.

1) Шум имеет спектральную плотность мощности, равную , . Корреляционная функция такого процесса равна

.

Если взять отсчеты через интервал времени , значения дискретной последовательности будут независимыми и = . Коэффициент перед экспонентой в выражении (5.1) обращается в нуль при .

2) Положим корреляционная функция шума равна

,

а отсчеты взяты с интервалом , где – интервал наблюдения. Тогда = и коэффициент перед экспонентой в выражении (5.1) стремится к бесконечности при .

Чтобы избежать рассмотренной неопределенности, используют не функционал правдоподобия, а функционал отношения правдоподобия. В этом случае исчезает коэффициент перед экспонентой.

Рассмотрим шум как стационарный случайный процесс со значениями, распределенными по нормальному закону, и математическим ожиданием, равным нулю, ковариационной функцией

.

Время наблюдения ограничено интервалом . Сигнал и шум на интервале наблюдения аддитивны и независимы:

. (5.2)

Построим разложение по ортогональным функциям :

. (5.3)

Выберем (субъективно) в качестве ортогональных функций последовательность не перекрывающихся прямоугольных импульсов, (рисунок 5.1), длительностью и удовлетворяющих условиям:

(5.4)

а случайную величину определим как

, . (5.5)

Из выражения (5.5) видно, что отсчеты – средние значения процесса на интервале дискретизации .

Пользуясь определениями (5.2) и (5.5), запишем значения отсчетов шума и сигнала, которые также представляют средние значения шума и сигнала на интервале дискретизации

, . (5.6)

Определим математическое ожидание и дисперсию отсчетов шума

Этот интеграл не равен нулю только лишь тогда, когда интервалы и перекрываются. Так как интервалы дискретны, то для их перекрытия должно выполняться равенство и

(5.7)

Дисперсия случайной величины не зависит от состояния источника. Действительно .

При решении задачи обнаружения сигнала на вход приемника поступает либо шум (состояние источника , т.е. сигнал ), либо смесь шума и сигнала (состояние источника , т.е. сигнал ). В зависимости от состояния источника получаем реализации на входе приёмника

где – реализации шума, – реализации сигнала.

По полученным результатам отсчетов для двух состояний источника строится отношение функций правдоподобия

= . (5.8)

Заменим дисперсию отсчета на и получим

. (5.9)

Напомним, за время наблюдения производится отсчётов, каждый отсчет имеет длительность . Оставляя время наблюдения постоянным, устремим длительность импульса к нулю. Тогда число отсчётов будет возрастать. При условии:

1) сумма сходится по вероятности к интегралу ,

2) существует интеграл ,

из (5.9) получим выражение, называемое функционалом отношения правдоподобия

. (5.10)

При проверке статистических гипотез о состоянии источника сигналов логарифм функционала отношения правдоподобия так же, как и при дискретных выборках, сравнивается с порогом , соответствующего заданному критерию,

. (5.11)

Значимость и мощность критерия определяются как

, (5.12)

Поиск по сайту: