Обнаружения сигнала со случайной фазой

Рассмотрим модель квазидетерминированного сигнала , фаза которого распределена равномерно в интервале :

,

амплитуда и частота детерминированные величины и известны наблюдателю. Сигнал принимается на фоне белого шума со значениями, распределёнными по нормальному закону:

.

Реализация принятого сигнала

Для проверки гипотезы о наличии или об отсутствии сигнала в принятой реализации необходимо вычислить функционал отношения правдоподобия:

. (5.25)

Однако функционал отношения правдоподобия зависит не только от реализации , но и от случайной величины . Чтобы избавиться от влияния значений случайной величины , усредним по всем возможным реализациям случайной величины :

. (5.26)

Рассмотрим интегралы в показателе экспоненты. Ввиду того, что фаза не является энергетическим параметром и , первый интеграл не зависит от и будет равен энергии процесса. Тогда

. (5.27)

Второй интеграл в (5.26) является корреляционным интегралом

(5.28)

со значением .

Преобразуем интеграл (5.28), приведя его к виду

=

. (5.29)

Обозначим

, (5.30)

со значениями

, . (5.31)

Подставим и в (5.29)

. (5.32)

Введём новые случайные величины и , не зависящие от в явном виде, при помощи преобразования

, (5.33)

со значениями

, (5.34)

Геометрическая интерпретация составляющих и приведена на рисунке 5.5. Косинусная и синусная составляющие будут значениями случайных величин, так как они зависят от реализации . Следовательно, и модуль вектора , и фаза будут реализациями случайных величин. Переход от декартовых координат к полярным координатам позволяет рассмотреть отдельно модуль и фазу корреляционного интеграла , (5.29). Подставив величины и в (5.32) приведём корреляционный интеграл (5.28) к виду

(5.35)

со значениями

. (5.36)

Подставим (5.27) и (5.36) в выражение (5.26)

. (5.37)

Интеграл после замены запишется как

.

Интеграл – функция Бесселя первого рода нулевого порядка от мнимого аргумента, он табулирован, а в специальных вычислительных пакетах приведены программы его вычисления. Подставим функцию Бесселя в (5.37) и получим решающее правило

, (5.38)

где – безразмерная величина и вычисляется по (5.34).

Для употребления правила обработки удобнее прологарифмировать функционал отношения правдоподобия и сравнить его с порогом, рассчитанным по выбранному критерию

(5.39)

Из теории специальных функций известно, что

или , (5.40)

которое можно реализовать, используя величины и , (5.31). Блок-схема реализации приемника, обрабатывающего сигнал со случайной фазой приведена на рисунке 5.6.

Поиск по сайту: