Свойства оценок параметров сигнала

При передаче информации от источника пользователю или при измерениях параметров сигнала в присутствии шума сигнал искажается и необходимо оценить (определить) значение параметра сигнала. Существуют различные критерии, позволяющие построить правила обработки измеренных значений сигнала. Выбор того или иного критерия зависит от наличия априорной информации о сигнале, о шуме и т.д. Оценка является функцией экспериментальных данных или . Сигнал может содержать один неизвестный параметр или несколько параметров . В последнем случае возникает проблема совместной оценки параметров. Приведем несколько критериев, наиболее часто используемых на практике.

Критерий минимума среднеквадратического отклонения

, .

Критерий максимума апостериорной вероятности

, .

Критерий максимума функционала или функции правдоподобия

.

.

Информацию о параметре сигнала получают в результате обработки дискретной выборки или непрерывной реализации . При этом возможно два типа выводов, отвечающих на вопросы:

- какова величина параметра ?

- в каком интервале значений находится истинное значение параметра ?

В первом случае, по статистике определяется оценка величины , которая в некотором смысле (по некоторому критерию) указывает точку в области возможных значений параметра наименее отличающейся от истинного значения .

Во втором случае необходимо указать границы , называемые доверительными, в пределах которых с некоторой вероятностью находится истинное значение параметра . Задача заключается в определении доверительного интервала. Этот вывод называется интервальной оценкой.

Оценка является случайной величиной и поэтому помимо определения величины оценки , необходимо вычислить закон распределения вероятностей измеряемого параметра, а если это невозможно, хотя бы дисперсию оценки , являющейся мерой точности (или мерой погрешности) оценки .

Оценка , будучи случайной величиной, может быть:

состоятельной,

несмещённой,

достаточной,

эффективной.

Оценка называется состоятельной, если её значение сходится по вероятности к истинному значению при неограниченном увеличении числа испытаний , то есть

, или , (6.1)

где - сколь угодно малая положительная величина.

Оценка называется несмещённой, если или асимптотически несмещённой (то есть отсутствует систематическая ошибка), если . Это означает, при проведении серии испытаний усредненное значение оценки равно истинному значению параметра и, более того, отсутствует систематическая ошибка. В частности, существуют оценки, для которых можно записать , где – смещение, не случайная величина, зависящая от истинного значения .

Понятие достаточности оценки было введено Р. Фишером. Оценка параметра будет достаточной, если никакая другая статистика, вычисленная по той же выборке, не может дать дополнительной информации относительно . Критерием достаточности по Г. Крамеру является возможность представления совместной плотности вероятности через произведение функций, зависящих от и от переменных , то есть

.

Необходимым и достаточным условием существования достаточной статистики является представление плотности вероятности выборки и параметра через экспоненциальную функцию:

.

Если существует достаточная оценка , то и некоторая функция от оцениваемого параметра тоже будет достаточной оценкой (Г. Крамер).

Как известно, оценка является функцией выборочных значений , то есть . Могут существовать различные функции (статистики) для оценивания одного и того же параметра . Для каждого случая можно вычислить дисперсию . Оценка называется эффективной, если её дисперсия является наименьшей из набора дисперсий всех возможных оценок . Если оценка

– эффективная оценка параметра , то она является достаточной статистикой. Не все достаточные статистики будут эффективными статистиками. Может сложиться такая ситуация, что только при неограниченном увеличении числа испытаний дисперсия будет наименьшей. Тогда говорят, что оценка асимптотически эффективная.

Поиск по сайту: