Минимаксный критерий

При использовании этого критерия априорной информацией является матрица потерь и функция правдоподобия. Вероятности , () состояния источника неизвестны. В этом случае средний риск невозможно вычислить. Но доступной информацией является условный риск:

(4.8)

Риски и зависят от элементов матрицы потерь и от выбора критического подмножества .

Пусть заданы правила разбиения множества на подмножества . Для каждого правила имеются свои значения условных рисков и , . Для заданного правила выберем из каждой пары условных рисков наибольший риск

,

В результате получим ряд значений . Из всех существующих рисков выберем тот, который даёт наименьшее значение: . Этому риску соответствует правило из множества правил разбиения множества G. Критерий, обеспечивающий наименьший риск из наиболее возможных рисков, называется минимаксным критерием

(4.9)

Определяющим в этом критерии является способ разбиения множества значений на подмножества .

Пример. Случайная величина принимает значения 1 и 0 с вероятностью и 1- , соответственно. Производится два независимых испытания и в результате имеется выборка объёма . Наблюдателю неизвестно значение , но он предполагает, что вероятность равна либо 0.3, либо 0.5. Таким образом, имеются две гипотезы

, .

Генеральная совокупность образована из всевозможных реализаций:

Выберем правила разбиения множества (субъективно):

Матрица потерь имеет вид

.

Теперь, основываясь на методике минимаксного критерия, нужно выяснить, какое правило разбиения наилучше: или ?

Рассмотрим правило .

Вероятности ошибок и вероятности правильных решений будут

,

,

,

Условный риск при разбиении по правилу и верности гипотезы равен

Условный риск при разбиении по правилу и верности гипотезы равен

Максимальное значение риска при разбиении будет равно

.

Рассмотрим правило .

Вероятности ошибок при разбиении по правилу будут

,

,

,

.

Условный риск при разбиении по правилу и верности гипотезы равен .

Условный риск при разбиении по правилу и верности гипотезы равен

Максимальное значение риска при разбиении по правилу будет равно

.

Из двух правил разбиения выберем то правило, которое обеспечивает минимальный условный риск .

Таким образом, наилучшим является правило разбиения .

Поиск по сайту: