Расчет вероятностей ошибок

Случайные величины и , (5.29), в силу того, что сигнал и шум аддитивны, а значения шума распределены по нормальному закону, также распределены по нормальному закону, некоррелированы, но с параметрами, зависящими от состояния источника.

Определим математическое ожидание модуля вектора и его дисперсию , учитывая, что

Из формул (5.33) получим

.

Ввиду того, что случайные величины и являются безразмерными величинами, то и математическое ожидание и дисперсия будут безразмерными величинами.

При условии математические ожидания синусной и косинусной составляющих вектора будут иметь вид:

=

=

.

Математическое ожидание модуля вектора равно

. (5.41)

Примем в качестве отношения сигнал/шум величину, равную .

Математические ожидания синусной и косинусной составляющих вектора при отсутствии сигнала равны нулю:

.

Вычислим дисперсии и при наличии и отсутствии сигнала:

,

(5.42)

=

Пользуясь определением корреляционной функции белого шума, -функции и допущениями, которые применялись при выводе математического ожидания , запишем . Точно также вычисляется . Подставим значения

, , ,

в формулы(5.42) и получим

.

Используя совместную плотность распределения вероятности величин и с разными математическими ожиданиями и , но с одинаковыми дисперсиями, находится совместная плотность распределения вероятности величин и , которая при состоянии источника имеет вид

, (5.43)

где , ,

, – математические ожидания величин и при наличии сигнала.

Совместная плотность распределения вероятности величин и при отсутствии сигнала равна

.

Плотность распределения вероятности модуля вектора определяется как

(5.43)

– плотность распределения вероятности модуля вектора , которая называется законом распределения Райса, или обобщенным законом распределения Релея.

При отсутствии сигнала плотность распределения вероятности модуля вектора называется законом распределения Релея и имеет вид

. (5.44)

Следует отметить, что все величины, входящие в распределение Райса (5.43) и распределение Релея (5.44), являются безразмерными.

Уровень значимости критерия проверки гипотез (вероятность ошибки первого рода, вероятность ложной тревоги) вычисляется по формуле

, (5.45)

мощность критерия (вероятность правильного принятия гипотезы при наличии сигнала, вероятность правильного обнаружения) вычисляется по формуле

. (5.46)

На рисунке 3.7 приведены рабочие характеристики для полностью известного сигнала и для сигнала со случайной фазой при одном и том же значении отношения сигнал/шум. Как видно из рисунка, при одной и той же вероятности ложной тревоги вероятность правильного обнаружения больше для сигналов, параметры которого полностью известны.

Поиск по сайту: