Проверка статистических гипотез. Проблема обнаружения сигнала, несущего информацию, на фоне шумов тесно связана с задачей проверки статистических гипотез в математической статистике

Проблема обнаружения сигнала, несущего информацию, на фоне шумов тесно связана с задачей проверки статистических гипотез в математической статистике. Будем считать, что реализация процесса происходит в дискретные моменты времени . Тогда в нашем распоряжении имеется последовательность случайных величин :

. (3.1)

Реализации шума считаем независимыми. Каждая случайная величина (случайный сигнал) принимает значения из некоторого множества значений , т.е.

Рассмотрим подробнее проблему принятия решений при проверке гипотез. Под состоянием S источника сигналов будем понимать возможность генерировать один из сигналов или . Если одно из состояний соответствует отсутствию сигнала, скажем S = 0, а другое — состоянию S ¹ 0 и требуется определить, в каком состоянии находится источник, то приходим к задаче обнаружения сигналов. Пусть известен закон распределения состояний источника, то есть, с какой вероятностью источник может пребывать в том или ином состоянии, или с какой вероятностью генерируется сигнал в моменты :

. (3.2)

Положим приемник фиксирует реализации случайного сигнала (случайной величины) в моменты времени . В результате имеем набор реализаций = , который называют выборкой объёма . Каждая реализация принадлежит множеству , определенному выше, (). Совокупность случайных величин принимает значения из множества . Все возможные выборки, содержащиеся в этом множество , называются генеральной совокупностью. Совместная вероятность , получить выборку вида зависит от состояния S источника . Эта вероятность, как функция состояния источника, называется функцией правдоподобия. Функция правдоподобия отвечает на вопрос – насколько правдоподобно получить данную выборку при условии, что источник находился в состоянии .

Во время обработки выборочных значений (выборки) производятся определенные операции с ними. Любую функцию от выборки будем называть статистикой. Например, статистиками будут среднее от выборки и выборочная дисперсия, соответственно,

, .

Статистика является случайной величиной, так как она – результат обработки какой-то одной совершившейся реализации из множества возможных случайных реализаций, составляющих множество . В то же время математическое ожидание , дисперсия – не случайные (детерминированные) величины.

Чтобы определить состояние источника, выдвигаются и проверяются гипотезы о том, что источник находится в состоянии или в состоянии . Решение о верности той или иной гипотезы принимается на основе анализа выборок . Ели бы не было шума все возможные выборки можно было бы разделить на два непересекающиеся подмножества, одно из которых соответствует состоянию источника - сигнал отсутствует в принятой реализации, другое – состоянию источника сигнал присутствует в принятой реализации.

Разобьем множество выборочных значений на два подмножества и (рисунок 3.1). Будем считать, если выборка принадлежит подмножеству , то источник находится в состоянии . Если , то источник находится в состоянии . Проверку принадлежности выборки тому или иному подмножеству , назовём правилом принятия решения .

При сложении шума и сигнала, можно ошибочно попасть в область, не соответствующей истинной гипотезе и совершить ошибку при проверке гипотез.

Правила обработки сигнала зависят от целей и требований, на которые рассчитана система. Может существовать несколько правил решения для достижения одной и той же цели. Среди этих правил необходимо выбрать наилучшее в некотором смысле, то есть возникает необходимость в некой функции, определяющей критерий [3] качества выбранного правила. Эта функция, достигающая экстремального значения при некоторых условиях, называется критерием принятия решений, или критерием оптимальности.

Рассмотрим пример 3.1. Пусть источник имеет два возможных состояния . Случайная величина может принимать два значения — 0 и 1.

Произведено четыре испытания . Генеральная совокупность состоит из различных четырёхразрядных двоичных кодов, общее число которых в данной задаче составляет . Рассмотрим возможные правила принятия решения о состоянии источника. На рисунке 3.2 изображены возможные правила разбиения множества реализаций на подмножества и . Согласно правилу подмножество составлено из двух комбинаций . Все остальные комбинации принадлежат подмножеству . По правилу выборочное пространство разделено на подмножества и таким образом, что содержит все возможные реализации , а все остальные реализации составляют подмножество . Предложенные правила разбиения множе

Если выборка попадает в область , принимается решение о том, что источник находится в состоянии , т.е. верна гипотеза . Если выборка принадлежит области , принимается решение о том, что источник находится в состоянии .

Если состояние источника S зависит только от одного значения параметра, то проверяемая гипотеза H относительно этого параметра будет простой гипотезой. Если же состояние источника зависит более чем от одного значения параметра, то проверяемая гипотеза H относительно этих параметров будет сложной гипотезой.

Например, состояние источника характеризуется амплитудой напряжения s₀ = 1 V. Гипотеза H о том, что напряжение источника равно 1 вольту, будет простой гипотезой. Но если состояние характеризуется некоторым конечным множеством значений тех же амплитуд, скажем s₀Î[1 2), гипотеза H, о том, что напряжение источника может принадлежать интервалу значений от 1 вольта до 2 вольт, будет сложной гипотезой.

Если число гипотез равно двум (), то процедура проверки этих гипотез называется двухальтернативной. Если же число гипотез более двух, то процедура проверки совокупности этих гипотез является многоальтернативной.

В дальнейшем понадобится отношение двух функций правдоподобия

, (3.3)

являющейся функцией выборочных значений , и, следовательно, является реализацией некоторой случайной величины со значениями . Ввиду того, что отношение правдоподобия является функцией от выборки, то она также является статистикой. Отношение правдоподобия «отображает точку из многомерного пространства в одномерное с неотрицательными значениями на действительной оси» (Левин Б.Р.).

Если выборочные значения принадлежат непрерывному множеству, описываемому распределением плотности вероятности , то отношение правдоподобия (3.3) примет вид

. (3.4)

Рассмотрим два примера.

Пример 3.2. Пусть случайная величина принимает два значения

но вероятность зависит от состояния источника, и примем:

- в состоянии источника — вероятность генерации символа «1» равна ,

- в состоянии источника — вероятность генерации символа «1» равна , .

Произвели N независимых испытаний, в результате которых получили последовательность из нулей и единиц. Пусть в этой последовательности содержится m единиц. Тогда отношение правдоподобия по выражению (3.3) имеет вид

или

. (3.5)

В этом примере множество случайных величин , реализованных в виде выборки и обладающих совместной вероятностью , при помощи статистики переведено в одномерную случайную величину . Реализацией случайной величины является число m – сумма числа единиц в выборке объёма N. Распределение суммы числа единиц (одномерная величина) и его числовые характеристики зависят от состояния источника (от вероятностей и ).

Пример 3.3. Пусть случайная величина распределена по нормальному закону

. (3.6)

Математическое ожидание зависит от состояния источника . Примем

, если источник в состоянии ,

, если источник в состоянии .

Производится N независимых испытаний и реализуется выборка вида . Совместная плотность распределения вероятности выборки в зависимости от состояния источника равна

. (3.7)

Используя (3.4), запишем отношение правдоподобия

= =

= =

= .

Логарифмируя предыдущее выражение, получим

. (3.8)

В этом выражении суммы отображают многомерные величины в одномерные величины. Сумма, содержащая реализацию , определяет новую случайную величину с определенным законом распределения плотности вероятности (сумма нормально распределенных случайных величин распределена по нормальному закону) и числовыми характеристиками, зависящими от состояния источника.

Поиск по сайту: