Согласованный фильтр

Приемник, оценивающий время задержки сигнала, можно реализовать при помощи устройства, импульсная характеристика, которого имеет специальную форму. Пусть задан сигнал . Согласованным фильтром будем называть устройство, имеющее импульсную характеристику вида.

, (7.18)

где — постоянная величина.

В качестве иллюстрации рассмотрим сигнал, (Рис. 7.5 а)

Приемник, оценивающий время задержки сигнала, можно реализовать при помощи устройства, импульсная характеристика, которого имеет специальную форму. Пусть задан сигнал . Согласованным фильтром будем называть устройство, имеющее импульсную характеристику вида.

, (7.18)

где — постоянная величина.

В качестве иллюстрации рассмотрим сигнал, (Рис. 7.5 а)

Зеркальное отображение этого сигнала представлено на рисунке 7.6б, . Сдвинем этот сигнал на величину , (Рис.7.5в), . Получили сигнал, являющийся зеркальным отображением исходного сигнала и задержанного на время . Если импульсная характеристика приемника пропорциональна сигналу , то такой приёмник называется согласованным фильтром.

Основные вопросы, возникающие при анализе согласованного фильтра:

1)определение частотной и фазовой характеристики согласованного фильтра,

2) физика работы согласованного фильтра,

3) отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра

4) оптимальность согласованного фильтра

Частотная характеристика согласованного фильтра имеет вид

(7.19)

Но частотная характеристика линейного устройства может быть представлена как

. (7.20)

Из сравнения выражений (7.19) и (7.20) следует

, . (7.21)

Таким образом, амплитудно-частотная характеристика согласованного фильтра совпадает по форме с АЧХ сигнала, а фазо-частотная характеристика (ФЧХ) должна иметь противоположный знак по отношению к фазово-частотной характеристике сигнала , в то же время все составляющие задержаны на величину .

Как видно из выражения (7.21), АЧХ согласованного фильтра пропорциональна АЧХ сигнала. Поэтому согласованный фильтр называют фильтром согласованным по полосе частот с сигналом.

Выходной сигнал фильтра имеет вид

(7.22)

Из этого выражения видно, что фазо-частотная характеристика согласованного фильтра компенсирует взаимные фазовые сдвиги составляющих входного сигнала . В момент времени сигнал на выходе согласованного фильтра достигает максимальное значение . Это получается за счёт того, что все составляющие входного сигнала задерживаются пропорционально их частоте на угол и к моменту времени они все находятся в фазе и, складываясь, дают максимальный вклад в выходной сигнал. При или фазовые соотношения нарушаются и абсолютное значение выходного сигнала уменьшается.

Шум, который поступает на фильтр, также усиливается на частотах, которые лежат в области спектра сигнала. Для шума необходимо рассмотреть его дисперсию (мощность) на выходе:

,

.

Если шум – белый, то ,

.

Для согласованного фильтра имеем

,

.

Отсюда отношение сигнал/шум на выходе фильтра будет

.

Среди всех линейных фильтров, согласованный фильтр даёт наибольшее отношение сигнал/шум. Для произвольного фильтра имеем

≤

Знак равенства достигается только тогда, когда . Из приведённой выше импульсной характеристики видно, что АЧХ и ФЧХ согласованного фильтра определяются видом сигнала, то есть его АЧХ и ФЧХ. В результате этого расчёта возникают два вопроса: можно ли физически реализовать согласованный фильтр и можно ли выполнить это технически?

Ограничения в первом случае накладываются принципом физической реализуемости во временной и частотной области, т.е. должны выполняться условия

или

Техническая реализация зависит от уровня развития технологии производства. В настоящее время существуют согласованные фильтры, реализованные на ультразвуковых линиях задержки.

Пример 7.1 Согласованный фильтр применяется часто для оценки фазы и частоты сигнала. Произведем оценку нижней границы дисперсии фазы и частоты по неравенству Рао-Крамера. Для оценки нижней границы дисперсии используем формулу (6.15)

, (П 7.1)

где .

Ввиду того, что время интегрирования значительно больше постоянной времени интегрирующей цепи, оценки фазы и частоты будут состоятельными и несмещёнными, т. е. . Вычислим вторую производную по параметру от сигнальной функции:

=

= .

Учитывая, что выражениями и при большом времени интегрирования можно пренебречь, получим

.

Размерность величин, входящих в формулу – . Таким образом, вторая производная от сигнальной функции при имеет значение и размерность . Подставив полученные выражения в неравенство (П 7.1), получим нижнюю границу дисперсии оценки фазы

[рад²].

Проделав те же операции по оценке нижней границы дисперсии частоты, что и при оценке фазы, получим вторую производную по параметру от сигнальной функции в точке , равную

=

= .

Используя это приближение, получим оценку нижней границы дисперсии частоты, равную

, .

Из сравнения нижних границ оценок дисперсий фазы и частоты видно, что нижняя граница оценки дисперсии частоты убывает как , в то время для фазы – как . Это означает, что при равных условиях погрешность измерения частоты будет меньше, чем погрешность измерения фазы.

Библиография

1. Тихонов В.И. Случайные процессы. Примеры и задачи: Учеб. пособие для студ. вузов / В.И. Тихонов, Б.И. Шахтарин, В.В. Сизых. Под редакцией В. В. Сизых – М.: Радио и связь. Т1: Случайные величины и процессы. – 2003. – 399 с.

2. Тихонов В.И. Случайные процессы. Примеры и задачи: Учеб. пособие для студ. вузов / В.И. Тихонов, Б.И. Шахтарин, В.В. Сизых. Под редакцией В. В. Сизых – М.: Радио и связь. Т4: Оптимальное обнаружение сигналов. – 2005. – 368 с.

3. Шахтарин Б. И. Случайные процессы в радиотехнике. – 2-е издание, испр. и доп. – М.: Радио и связь, Ч1: Линейные системы. – 2002. – 568 с.

4. Шахтарин Б. И. Обнаружение сигналов. – М.: Гелиос АРВ, – 2006. – 488 с.

5. Минаков А.А. Статистическая радиофизика: Учеб. пособие для студ. вузов / А.А. Минаков, О.Ф. Тырнов – Харьков: ХНУ им. В.Н. Каразина, 2003. – 539 с.

6. Смирнов Ю.М. Статистическая радиофизика: Учеб. пособие / Смирнов Ю.М., Твер. гос. ун-т. Тверь: Изд-во Твер. гос. ун-та, 2002 – 32 с.

7. Чернявский А.Ф. Обработка информации в радиофизических системах. – Мн.: БГУ, 2004. – 175

8. Новиков А. К. Статистические измерения и обнаружение сигналов. – СПб.: ЦНИИ им. А.Н. Крылова, 2006.

9. Бородакий Ю.В. Вероятностно-статистические методы обработки данных в информационных системах / Бородакий Ю.В., Крицына Н.А., Кулябичев Ю.П., Шумилов Ю.Ю. – М.: Радио и связь. 2003. – 272 с.

10. Грешилов А.А. Статистические методы принятия решений с элементами конфлюентного анализа. – М.: Радио и связь, 1998. – 112 с.

11. Котельников Л.В. Разрешение и распознавание случайных процессов. – М.: Радио и связь, 2001. – 52 с.

12. Котоусов А. С. Теоретические основы радиосистем. – М.: Радио и связь, 2002. – 224 с.

13. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиофизики. – книга вторая – М.: Советское радио, 1968. – 504 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Введение. 3

2. Типы решаемых задач. 5

3. Проверка статистических гипотез. 7

4. Критерии качества и правила принятия решений. 13

4.1. Проверка двухальтернативных гипотез. 13

4.1.1. Критерий Байеса. 15

4.1.2. Минимаксный критерий. 17

4.1.3. Критерий максимума апостериорной вероятности. 19

4.1.4. Критерий максимума правдоподобия. 20

4.1.5. Критерий Неймана-Пирсона. 21

4.1.6. Последовательный критерий отношения вероятностей (Последовательный анализ Вальда) 23

4.1.7.Различение сигналов. 28

5. Обработка непрерывных сигналов. 31

5.1 Функционал правдоподобия. 31

5.2 Применение функционала отношения правдоподобия для обнаружения полностью известного сигнала. 35

5.3 Применение функционала отношения правдоподобия для обнаружения сигнала со случайной фазой. 39

5.3.1. Расчет вероятностей ошибок. 43

6. Оценка параметров сигнала. 46

6.1. Свойства оценок параметров сигнала. 46

6.2 Неравенство Рао-Крамера. 49

7. Применение функционала отношения правдоподобия для оценки параметров сигнала. 60

7.1. Оценка временного положения сигнала. 63

7.2 Обработка пачки сигналов. 65

7.3 Реализация алгоритма оценки временного положения сигнала. 69

7.3.1 Корреляционный приёмник. 70

7.3.2 Согласованный фильтр. 70

Библиография. 76

1 Априори — от лат. a’priory — от предыдущего, независимо от опыта и его данных.

[3] Критерий — от греч. criterion — мерило для оценки чего-либо (истинности, достоверности).

[4] Апостериори - от латинского a’posteriori — от последующего, после опыта, из опыта, из фактов

5 Если подынтегральное выражение не отрицательно, то и значение интеграла – неотрицательная величина.

Поиск по сайту: