АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Последовательный критерий отношения вероятностей

Читайте также:
  1. III.1. Гендерные отношения в сфере спорта высших достижений.
  2. Аграрные отношения. Процесс читлучения
  3. Административно-правового отношения
  4. Административно-правовые нормы и отношения
  5. Анализ соотношения риска и доходности в рамках портфеля
  6. Антибиотические отношения.
  7. Арабское население халифата: религия, право, отношения с христианами.
  8. Базовые математические отношения
  9. Банковские правоотношения
  10. Биотические отношения как основы формирования биоценоза.
  11. Биотические факторы среды. Взаимосвязи и взаимоотношения организмов.
  12. Бог и человеческие взаимоотношения

(Последовательный анализ Вальда)

 

Рассмотрим последовательную процедуру проверки гипотез. Все предыдущие правила проверки двух гипотез были основаны на фиксированном числе испытаний, то есть сначала проводится измерений, строится отношение правдоподобия и затем оно сравнивается с порогом. С точки зрения минимального значения среднего числа испытаний (для ускорения процесса записи выборки), А. Вальд предложил и обосновал последовательный анализ измеряемых значений, т.е. обработка данных проводится по мере поступления новых измерений.

После каждого испытания строится отношение правдоподобия , которое сравнивается с двумя порогами и , то есть проверяется условие

(4.23)

При выполнении условия

и (4.24)

принимается решение о верности гипотезы (гипотеза отклоняется). А при выполнении условия

и (4.25)

принимается решение о верности гипотезы (гипотеза отклоняется).

Как видно множество разбивается на три части: подмножество принятия гипотезы , подмножество принятия гипотезы и область неопределённости , где нельзя отдать предпочтение той или иной гипотезе (в этом случае измерения должны быть продолжены). Из правил проверки гипотез (4.24) и (4.25) в данном случае следует, что объём выборки не фиксирован и зависит от конкретного значения выборки , то есть объём выборки есть случайная величина.

В качестве критерия разумно выбрать минимальную среднюю стоимость эксперимента. Если “цена” одного эксперимента не меняется с увеличением , то этот критерий переходит в критерий минимума среднего числа испытаний, необходимых для принятия решения или .

А.Вальд доказал, что среди всех правил принятия решений (последовательных и непоследовательных), для которых условные вероятности ошибок не превосходят и последовательное правило принятия решения, состоящее в сравнении отношения правдоподобия с двумя порогами и , приводит к наименьшему значению среднего числа испытаний при верности или . При независимости выборок имеем

.

В случае последовательного критерия отношения правдоподобия процедура проверки строится следующим образом:

Выбираются пороги и , как функции значений и , и проверяется неравенство (4.23) на каждом шаге испытаний .

Если , то в качестве порогов и можно принять величины

, . (4.26)

Вместо сравнения с порогами и обычно логарифмируют обе части неравенства (4.23) и при независимых испытаниях проводят проверку по правилу

. (4.27)

На рисунке 4.1 показан пример изменения значений суммы случайного числа случайных величин до принятия решения при увеличении числа испытаний. Нужно иметь в виду, что в процедуре проверки гипотез по Вальду размер выборки - величина случайная. Из теории вероятностей известно, если независимы, распределены одинаково и их дисперсия ограничена, то

.

Откуда получим математическое ожидание числа испытаний

В применении к последовательному анализу получим математическое ожидание числа испытаний при различных состояниях источника:

, (4.28)

Математические ожидания и зависят от проверяемой гипотезы и границ принятия решений. Пренебрегая перескоком границ и значениями сумм в момент принятия решения об остановке процедуры проверки гипотез (4.27), запишем соответствующие математические ожидания сумм

, (4.29)

. (4.30)

Математические ожидания логарифма отношения правдоподобия при состоянии источников и определяются как

, ,

(4.31)

где - плотность распределения вероятности выборки y при состоянии источника , – область, на которой определена плотность распределения вероятности .

В случае дискретного распределения выборочных значений имеем

, ,

(4.32)

где m – количество значений y, которое может принимать случайная величина при однократном измерении, .

Преимуществом последовательного анализа перед всеми остальными процедурами проверки гипотез заключается в том, что последовательный анализ Вальда даёт приблизительно 48% выигрыша в числе испытаний при проведении серии процедур проверки гипотез.

Во всех правилах принятия решения, кроме минимаксного правила, используется отношение правдоподобия и решение принимается при нарушении неравенств , где С – порог, зависящий от выбранного критерия. Но само отношение правдоподобия – случайная величина, имеющая плотность распределения вероятности , зависящей от состояния источника. Запишем вероятности ошибок и вероятности правильного принятия решений, используя плотность распределения вероятности отношения правдоподобия

, (4.33)

, (4.34)

, (4.35)

. (4.36)

Приведённые равенства показывают, что вероятности ошибок и , а также вероятности правильных решений и , можно вычислять как по многомерным областям и , так и по одномерной области, определяемой плотностями вероятностей и , что облегчает вычисления. Сведём в одну таблицу рассмотренные критерии.

Таблица правил принятия решений

 

Априорные сведения Критерий Правило Примечание
, Объём выборки Байеса = = . Объём выборки фиксирован, вероятности a, b вычисляются по и
Объём выборки Минимаксный = = Объём выборки фиксирован, вероятности a, b вычисляются по выбранным правилам
Объём выборки Максимума апостериорной вероятности = , Объём выборки фиксирован, вероятности a, b вычисляются по и
Объём выборки Максимального правдоподобия 1= Объём выборки фиксирован, вероятности a, b вычисляются по и
Объём выборки Неймана-Пирсона Объём выборки фиксирован, выбирается из условия . Тогда
Последовательный анализ Вальда Минимизирует среднее число испытаний

4.1.7.Различение сигналов

 

Рассмотрим применение отношения правдоподобия для различения двух сигналов и как частный случай – обнаружение сигнала на фоне шумов. Положим, источник может находиться в двух состояниях и , характеризующихся двумя сигналами и , отличающимися друг от друга некоторыми параметрами, (например, амплитудой, фазой и т.д.).

На вход приемника поступает дискретная во времени аддитивная смесь одного из сигналов и шума

,

со значениями

,

шум распределён по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю и известной дисперсией ,

.

Математическое описание сигналов экспериментатору известен, но неизвестно, какой из сигналов присутствует на входе приемника. В этой ситуации проверяются две альтернативные гипотезы -

: источник находится в состоянии , т.е. генерирует сигнал ,

: источник находится в состоянии , т.е. генерирует сигнал .

На основании выборки экспериментатор должен вынести решение или о состоянии источника информации.

Для решения задачи применим отношение правдоподобия, которое введено в разделе 3.

В примере 3.3 был получен логарифм отношения правдоподобия

(4.37)

при проверке двух альтернативных гипотез о состоянии источника , . Все рассмотренные критерии, кроме минимаксного критерия, приводят к единому правилу решения - отношение правдоподобия сравнивается с порогом, зависящим от критерия. Отвлекаясь от типа применяемого критерия, обозначим этот порог через С. По необходимости, будем заменять величину С соответствующим порогом согласно выбранному критерию.

Использовав нормальный закон распределения вероятности значений шума в дискретные моменты времени, был записан логарифм отношения правдоподобия в виде

(3.8)

Используя (4.37), запишем правило принятия решения

.

(4.38)

Преобразуем (4.38) в вид, удобный для анализа

, (4.39)

где .

Правая часть неравенства не зависит от сигнала на входе приемника. Она определяется априорно известными данными.

Величина - статистика, распределенная, согласно (3.8), по нормальному закону с параметрами, зависящими от состояния источника и шума:

,

(4.40)

= (4.41)

Как видно из (4.41), дисперсия величины Q не зависит от состояния источника на момент приема сигналов. Значимость критерия и мощность критерия определяются как

, (4.42)

. (4.43)

Если решается задача обнаружения сигнала, одно из состояний источника примем за наличие только шума, скажем состояние , т.е. сигнал и на вход приемника поступает или шум, или смесь шума и сигнала. Реализация обрабатываемого сигнала в задаче обнаружения примет вид

где - реализации шума, - реализации сигнала.

В этом случае формулы (4.38) – (4.43) примут вид

 

, (4.44)

, (4.45)

где .

Математическое ожидание и дисперсия величины вычисляются как

(4.46)

 

= .

(4.47)

Значимость критерия и мощность критерия вычисляются по формулам (4.48) и (4.49):

, (4.48)

(4.49)

На рисунке 4.2 изображены плотности распределения вероятностей величины при состояниях источника и . Интервал значений () – критическая область – область, при попадании в которую значений гипотеза отвергается, в то время как она верна.

Качество алгоритма обнаружения сигнала оценивается рабочей характеристикой приемника: – вероятность правильного обнаружения как функция вероятности ложной тревоги.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.016 сек.)