 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой ограниченной области
Постановка задачи. Пусть на плоскости 
замкнутая ограниченная область 
задается системой неравенств вида 
. Требуется найти в области точки, в которых функция 
принимает наибольшее и наименьшее значения (глобальный экстремум).
Решение данной задачи опирается на следующую теорему.
Теорема. Пусть функция непрерывна в замкнутой ограниченной области , граница которой является кусочно гладкой (состоит из кусков «гладких на ощупь» кривых или прямых). Тогда в области функция достигает своего наибольшего 
и наименьшего 
значений.
Порядок нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой ограниченной области .
1) Строим область ; выделяем все части границы области и находим все «угловые» точки границы.
2) Находим стационарные точки внутри из условия 
.
3) Найти стационарные точки на каждой границе области .
4) и вычислить значения функции в стационарных точках внутри и на границе области ,
5) Вычисляем значения функции во всех стационарных и угловых точках, а затем выбираем наибольшее и наименьшее значения.
Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции 
в замкнутой области , заданной системой неравенств 
, 
, 
. Сделать чертеж.
Решение
Найдем критические точки, решая систему уравнений 
. Отсюда 
Построим область . Данная область – треугольник. Стационарная точка 
лежит внутри области.
y
(
)
(
) 
0 
(
) 3 x
Найдем критические точки на каждой границе области.
А) Из уравнения прямой выразим 
и подставим в функцию. Получим
.
Критическая точка находится из условия 
. Отсюда 
, тогда 
. Стационарная точка 
лежит на границе области.
Б) На границе 
функция принимает вид 
. Стационарная точка находится из условия 
. Отсюда 
и стационарная точка 
лежит на границе области.
В) На границе 
функция принимает вид 
. Стационарная точка находится из условия 
. Отсюда 
и стационарная точка 
лежит на границе области.
Итак, имеем стационарные точки: 
, , , . Отметим их в области.
Вычислим значения функции в стационарных точках:
;
;
;
.
Выберем среди них наибольшее и наименьшее значения:
; 
.
2*. Нахождение наибольшего (наименьшего) значений линейной функции в области, заданной линейными ограничениями
Поиск по сайту: