Графическое нахождение наибольшего и наименьшего значений линейной функции в области

Геометрическая постановка задачи. Найти в области решений системы линейных неравенств точку, через которую проходит линия уровня, соответствующая наибольшему (наименьшему) значению линейной функции с двумя переменными.

Последовательность действий:

1. Построить область допустимых решений системы линейных неравенств Если область непустая, то можно говорить о целесообразности нахождения в ней наибольшего и наименьшего значений функции.

В

A

2. Построить градиент и одну из линий уровня функции .

3. Параллельным перемещением прямой в направлении вектора геометрически найти две точки:

· точку А «входа» в область. Эта точка определяет точку наименьшего значения функции ;

· точку В «выхода» из области. Эта точка определяет точку наибольшего значения функции .

4. Найти координаты точки А, решая систему уравнений прямых, пересекающихся в точке А. Вычислить наименьшее значение функции . Аналогично - для точки В и наибольшего значения функции .

Пример 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

в области решений системы линейных неравенств

Решение

1. Построим область решений системы линейных неравенств.

у

1

О 2 x

Прямая () , точки для построения и . Так как верно, то полуплоскость обращена в сторону точки .

Прямую () строим по точкам и ; неравенство верное, полуплоскость направлена к началу координат.

Прямая () построена по точкам и ; полуплоскость обращена в сторону .

Неравенства и показывают, что искомая область (пересечение всех полуплоскостей) находится в первой координатной четверти.

2. Построим градиент функции . Это вектор с координатами с началом в точке . Перпендикулярно градиенту построим одну из линий уровня.

3. Параллельным движением линии уровня в направлении градиента найдем точку «входа» линии уровня в область – это точка О(0,0). Вычислим значение функции в этой точке: .

4. Продолжая движение линии уровня в направлении градиента , найдем точку «выхода» линии уровня из области – это точка А. Для определения ее координат решим систему уравнений прямых и : Решение системы уравнений и . Вычислим значение функции в точке : .

Ответ: , .

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте последовательность действий для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области.

Дополнительно:

2. Покажите, что линейная функция двух переменных не имеет критических точек внутри области .

3. Дайте определение градиента функции двух переменных в точке .

4. Запишите для линейной функции вектор градиент, назовите вид линий уровня. Как расположены относительно друг друга градиент и линии уровня?

5. Как с помощью градиента и линий уровня найти точки наименьшего и наибольшего значений линейной функции в области, заданной системой линейных неравенств? Опишите порядок действий.

6. Как найти координаты точек области, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения?

7. Сформулируйте алгоритм графического метода решения стандартной ЗЛП с двумя переменными.

8. Как найти координаты решения и значения , ?

9. Как показать, что решением линейного неравенства является полуплоскость?

10. Как построить полуплоскость, заданную линейным неравенством с двумя переменными ?

11. Что называется решением системы линейных неравенств с двумя переменными? Постройте на плоскости область допустимых решений такой системы линейных неравенств, которая: 1) имеет единственное решение, 2) имеет бесконечное множество решений, 3) не имеет ни одного решения.

Поиск по сайту: