Задать исходные данные

Решение систем линейных уравнений

Пусть задана система линейных уравнений с неизвестными

(1)

Числа — коэффициенты при переменной в м уравнении называются коэффициентами системы (1), а матрица

(2)

называется матрицей системы (1). Вектор называют правой частью системы (1). Система чисел (вектор) называется решением системы уравнений (1), если числа удовлетворяют этим уравнениям.

Алгоритм решения системы линейных уравнений (1) методом Крамера опирается на следующую теорему

Если определитель системы линейных уравнений (1) не равен нулю, т.е. , то система (1) имеет единственное решение для любой правой части В, вычисляемое по формулам (Крамера)

(3)

где — дополнительный определитель, получаемый из определителя , если в нём заменить числа го столбца соответственно на числа :

(4)

В матричной форме систему n линейных уравнений с n неизвестными можно записать в виде:

(5)

Алгоритм решения системы линейных уравнений (1) методом обратной матрицы опирается на следующую формулу

, (6)

где — обратная матрица для матрицы А.

Следует отметить, что обратная матрица существует только для невырожденной матрицы , т.е. когда .

Пример

Решить системы линейных уравнений методом Крамера и обратной матрицы.

Решение

Решим систему линейных уравнений

(а) методом Крамера.

Задать исходные данные

Для этого:

а) В ячейки А1:D4 запишем матрицу системы А.

б) В ячейки F1:F4 запишем столбец правых частей B.

Вычислить определители матрицы системы и дополнительные определители

Для этого:

а) Скопировать матрицу А в ячейки А11:D14, А16:D19, А21:D24, А26:D29, А31:D34.

б) Заменить первый, второй, третий и четвёртый столбец матриц-копий столбцом правых частей В:

• выделить столбец В (ячейки F1:F4);
• щёлкнуть по кнопке «Копировать» Стандартной панели;
• выделить последовательно столбцы А16:А19, B21:B24, C26:C29, D31:D34 (клавишу <Ctrl> держать нажатой);
• щёлкнуть по кнопке «Вставить».

в) вычислить определитель системы и :

• в ячейку G13 записать формулу «=МОПРЕД(А11:D14)» (с использованием Мастера функций);
• скопировать формулу из ячейки G13 в ячейки G18, G23, G28, G33.

Получим

По формулам Крамера получим

Аналогично для системы (b):

По формулам Крамера получим

Решим систему линейных уравнений (а) методом обратной матрицы:

Поиск по сайту: