Доведення рівностей з множинами

Доводити рівності з множинами можна різними способами.

Спосіб 1. Для доведення рівності використовується теорема про те, що дві множи­ни А та В рівні тоді й лише тоді, коли та .

Приклад 6.1. Доведемо рівність множин, яка є формулюванням закону де Моргана .

Припустимо, що . Тоді , звідси або . Отже або , а це означає, що . Отже, доведено, що .

Навпаки, нехай . Тоді або , звідки або . Це означає, що , тобто . Отже .p

Cпосіб 2. Доведення рівності множин із використанням таблиць належності. У цих таблицях розглядають усі можливі комбінації належності елементів множинам і позначають 1, якщо елемент належить множині, 0 – якщо елемент їй не належить.

Приклад 6.2. Доведемо цим способом рівність .Доведення подано у табл. 6.1.

Таблиця 6.1

А	В

Стовпчики, які в табл. 6.1 відповідають множинам та збіглися, отже .p

Спосіб 3. Доведення рівності множин з використанням законів логіки.

Приклад 6.3. Доведемо попередню рівність .

Доведення поля­гає в послідовній перевірці наступних рівностей

. p

Спосіб 4. Доведення рівності множин із використанням основ­них законів (табл. 3.1).

Приклад 6.4. Доведемо, що . Вико­ристовуючи закони де Моргана та комутативності, можна записати:

– за законом де Моргана;

– за законом де Моргана;

– за законом комутативності;

= – за законом комутативності. p

Поиск по сайту: