Приклади розв’язування завдань

Приклад 8.1. Задати двома різними способами множину А всіх парних чисел 2, 4, 6,...., що не перевищують 1000.

Розв’язання:

1. Перерахуванням: А ={2, 4, 6, 8, 10, …, 998, 1000};

2. Описом: А ={(x | x Î N) (х /2Î N), N £1000}; (N – множина натуральних чисел 1, 2, 3, ….).▲

Приклад 8.2. Зобразіть фігури, задані множинами , , де – дійсна площина. Які фігури зображають множини ?

Розв’язання:

Приклад 8.4. Перечисліть елементи наступних множин:

1) А ={ a | a Í B, B ={1,2,3}};

2) A ={ a | a Î B, B ={1,2,3}}.

Розв’язання:

1) Так, як а Í В, а В – трьохелементна множина, то існує 2³=8 підмножин: А ={{1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}, Æ}.

2) Так, як а Î В, то А = В ={1,2,3}.▲

Приклад 8.5. Довести, використовуючи закони алгебри множин, що

Розв’язання:

▲

Приклад 8.6. Спростити вираз

Розв’язання:

Використовуючи закони алгебри множин:

▲

Приклад 8.7. Опитування 100 студентів показало, що серед них англійську мову вивчають 29 студентів, німецьку – 30, французьку – 9, лише французьку – 1, англійську та німецьку – 10, німецьку та французьку – 4, всі три мови – 3 студенти. Скільки студентів не вивчають жодної мови? Скільки студентів вивчають лише німецьку мову? У розв’язку використовувати діаграми Ейлера-Венна.

Розв’язання:

Введемо позначення:

U – множина всіх опитаних студентів;

А – множина студентів, які вивчають англійську мову;

Н – множина студентів, які вивчають німецьку мову;

Ф – множина студентів, які вивчають англійську мову.

З умови задачі очевидно, що =3, тоді =4-3=1; 10-3=7. У такому випадку лише німецьку мову вивчають 30-7-3-1=19 студентів.

Із умови задачі також випливає, що 9-1-1-3=4, тому лише англійську мову вивчають 29-4-3-7=15 студентів. Тоді число студентів, що не вивчають жодної мови, буде рівним 100-(1+1+3+4+7+15+19)=50 студентів.

Рис. 8.1 Діаграма Ейлера-Венна

Приклад 8.8. Довести, що для будь-яких множин А та В виконується рівність .

Розв’язання:

Для доведення використаємо метод від супротивного, тобто нехай і .

Із А Í В випливає, що якщо а Î А, то а Î В. (1)

З іншої сторони із Ë існує такий елемент а, що та , отже і . (2)

Використовуючи (1) та (2):

З того, що і випливає, що та , а звідси =Æ, тобто отримали суперечність.

Таким чином, вираз хибний і тому , тобто .

Аналогічно можна показати, що і, отже, , що і потрібно було довести. ▲

Приклад 8.9. Знайти декартовий добуток множин A ={1,2,3}, B ={ a,b } та його потужність.

Розв’язання:

A ´ B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) },

B ´ A = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3) }.

Як бачимо, A ´ B ¹ B ´ A.

Потужність декартового добутку: | A ´ B |=| B ´ A | = 3×2=6. ▲

Приклад 8.10. Довести рівність множин:(A È B)´ С =(A ´ C)È(B ´ C)

Розв’язання:

Доведемо, що (A È B)´ С Í(A ´ C)È(B ´ C).

Нехай z Î(A È B)´ С, тоді z =(x,y), де x Î A È B та y Î С. Отже, x Î A або x Î В. Тобто x Î A та y Î С або x Î В та y Î С. Тому z Î A ´ C або z Î B ´ C. За означенням об’єднання z Î(A ´ C)È(B ´ C).

Доведемо, що (A È B)´ С Ê(A ´ C)È(B ´ C).

Нехай z Î(A ´ C)È(B ´ C), тоді z Î A ´ C або z Î B ´ C. Так як z =(x,y), то x Î A, y Î С або x Î B, y Î С. Отже, x Î A або x Î В при y Î С. Тому x Î A È B і y Î С. За означенням декартового добутку z Î(A È B)´ С. ▲

Приклад 8.11. Зобразіть на координатній площині декартовий добуток множин А × В, якщо:

a) А = {1,2,3}, В =[3,5];

b) А ={ х ׀ x R, 1≤ x ≤3}; B ={ y ׀ y R, 3≤ y ≤5};

c) А = R, В =[3,5];

d) А = R, В = R.

Розв’язання:

а) Так як множина А складається з трьох елементів, а множина В містить всі дійсні числа від 3 до 5, включаючи і самі ці числа, то декартовий добуток А × В складатиметься з нескінченної кількості пар, перша компонента яких або 1, або 2, або 3, а друга – будь-яке дійсне число з проміжку [3, 5]. Безліч таких пар дійсних чисел на координатній площині зобразиться трьома відрізками (рис. 8.2).

Приклад 8.12. На координатній площині побудувати множину (-1; 3]×[1; 3).

Розв’язання:

Першу множину поміщаємо на осі OX, другу на осі OY. Множина всіх пар, тобто декартовий добуток, зображається точками заштрихованого прямокутника, але без лівої та нижньої сторони (рис. 8.5).

Рис. 8.5 Декартовий добуток

Приклад 8.13. Скільки цілих чисел між 0 та 1000 містять рівно одну цифру 6?

Розв’язання:

Нехай S – множина цілих чисел між 0 та 1000, що містять рівно одну цифру 6. Розглянемо три підмножини S ₁, S ₂ та S ₃ множини S.

S ₁ – множина, яка містить число, що складається з однієї цифри і ця цифра 6;

S ₂ – множина, яка містить двохзначне число, що містить лише одну цифру, яка рівна 6;

S ₃ – множина, яка містить трьохзначне число, що містить лише одну цифру, яка рівна 6.

Множина S ₁ містить лише один елемент – число 6.Отже, | S ₁|=1.

У множині S ₂ кожен елемент, що містить 6, є або першою, або другою цифрою. Якщо 6 – друга цифра, то існує 8 різних чисел, які будуть стояти на першій позиції, оскільки перше число не може бути 0 або 6. Якщо 6 – перша цифра, то таких чисел 9, оскільки друга цифра не може бути рівна 6. Таким чином, S ₂ містить 8+9=17 елементів, тобто | S ₂|=17.

Елемент із S ₃ може містити 6 як першою, так і другою чи третьою цифрою. Якщо 6 – перша цифра, то існує 9 варіантів вибору другої цифри та 9 варіантів вибору третьої цифри. Згідно комбінаторному принципу множення, S ₃ містить 9 ´ 9=81 чисел з першою цифрою 6. Якщо 6 –друга цифра, то існує 9 варіантів вибору третьої цифри та 8 варіантів вибору першої цифри, оскільки перша цифра не може бути нулем. Очевидно, S ₃ містить 9´8=72 чисел, у яких 6 – друга цифра. Аналогічно, S ₃ містить 72 числа, у яких 6 – третя цифра. Отже, всього S ₃ містить 81+72+72=225 елементів, тобто | S ₃|=225.

Оскільки та множини S ₁, S ₂ і S ₃ – ті, що попарно не перетинаються, тоді

.▲

Приклад 8.14. Скільки додатних цілих чисел, менших 1001, діляться на 2, 3 чи 5?

Розв’язання:

Нехай X – множина додатних цілих чисел, які діляться на 2, 3 чи 5. Розглянемо три підмножини X ₁, X ₂ і X ₃ множини X.

X ₁ – множина додатних цілих чисел, які діляться на 2. Число елементів чи потужність цієї множини дорівнює .

X ₂ – множина додатних цілих чисел, які діляться на 3 Число елементів чи потужність цієї множини дорівнює .

X ₃ – множина додатних цілих чисел, які діляться на 5. Число елементів чи потужність цієї множини дорівнює .

Тоді множина X ₁Ç X ₂ – множина додатних цілих чисел, які діляться на 2 або 3. Відповідно . Множина X ₁Ç X ₃ – множина додатних цілих чисел, які діляться на 2 або 5. Тоді . Множина X ₂Ç X ₃ – множина додатних цілих чисел, які діляться на 3 або 5. Аналогічно .

Множина X ₁Ç X ₂Ç X ₃ – множина додатних цілих чисел, які діляться на 2, 3 або 5. Число елементів чи потужність цієї множини дорівнює .

Використовуючи формулу включення і виключення:

Приклад 8.15. Про множини А, B, С відомо, що: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, = {3}, ={1, 2, 4, 6}, ={2, 5, 6}, = {2}, {1, 2, 5}, {1, 6}.

Знайдіть множини А, B, С.

Розв’язання:

Зобразимо перетин трьох множин A, B, C на рис. 8.6. і позначимо всеможливі утворені множини :

Рис. 8.6 Приклад перетину трьох множин

Складемо систему рівнянь:

1. = {1, 2, 3, 4, 5, 6};

2. ={3};

3. ={1, 2, 4, 6};

4. ={2, 5, 6};

5. = {2};

6. ={1, 2, 5};

7. ={1, 6}.

Отримаємо:

={3}, ={2}.

Із рівнянь (6 - 7) зрозуміло, що ={1}.

Тоді з рівняння (6) випливає, що ={5}, а з рівняння (7) та (3) випливає, що , а ={6}. Із рівняння (3) ={4}.

Отже, = {1, 3, 5, 6},

= {2, 3, 4, 5},

= {3, 4, 6}.p

9. Завдання до виконання

1. Нехай А ={{1,2,3}, {1,3}, 1, 2}. Чи справедливо, що

a) {1, 2}ÎА;

b) {1, 2}ÌA.

2. Перелічити елементи множини:

, n =1, 2,…}.

3. Перелічити елементи наступних множин:

a)

b)

c)

4. Нехай А – довільна множина. Що являють собою наступні множини:

a)

b)

c)

d)

5.Записати множини, перелічивши їх елементи. Яка потужність даних множин?

a) А = { n | n — додатні числа, кратні 7 і менші 60};

b) В = { x ׀ x ² - 5 x + 6 = 0}.

6. Записати усі підмножини множини А ={ а, b, с }.

a) Чи рівні множини { a, b, c, d }і { b, d, с, а}?

b) Нехай М = {чотирикутники}. Чи належать до множини М такі фігури: квадрат, ромб, коло, шестикутник?

7. Нехай А – множина цілих чисел, що діляться на 4, а В – множина цілих чисел, що діляться на 3. Які з чисел 9, 0, -24, -53, 128, 242048 входять у множину ?

8. Нехай А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} і В = {2, 4, 6}. Знайти:

a) суму С;

b) різницю R;

c) переріз Р множин А і В.

9. Нехай Ν = {натуральні числа}, М ={додатні раціональні числа}, Р= {прості числа}, Q = {додатні непарні числа}. Чи правильне твердження ?

10. Нехай А – множина, що складається з 30 стільців, а В – множина, що складається з 30 студентів. Чи А=В? Обґрунтувати відповідь.

11. За допомогою наочного зображення на площині впевнитись, що для будь-яких трьох множин А, В і С справджуються такі рівності:

a) ;

b) .

12. Користуючись кругами Ейлера, довести рівності:

a) ;

b) .

13. Вказати, які з поданих нижче множин скінченні, а які нескінченні (поясніть, чому):

a) множина цілих чисел, що діляться на 5;

b) множина коренів заданого многочлена;

c) множина всіх рослин на Землі.

14. Записати формули, відповідні до діаграм Венна:

a) b) c) d)

15. Зобразити на координатній площині декартові добутки множин А та В. У задачі b записати також усі елементи декартових добутків:

a) ;

b) .

16. Задані множини A ={ a,b,c }, B ={ x,y }, C ={0,1}. Побудувати декартові добутки а-d:

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

17. Задані множини А ={ a,b,c,d,e } та В ={ a,b,c,d,e,f,g,h }. Побудувати множини а-d:

a)

b) ;

c) А \ В;

d) В \ А.

18. Знайти множини А та В, якщо А \ В ={1,5,7,8}, B \ A ={2,10} та ={3,6,9}.

19. А та В – множини. Довести рівність A \ B = A .

20. А та В – множини. Довести рівність .

21. Нехай А, В та С – довільні множини. Довести, що:

a)

b)

22. Задані множини А, В та С. Довести рівність множин

23. Задані множини А ={0,2,4,6,8,10}, B ={0,1,2,3,4,5,6} та С ={4,5,6,7,8,9,10}.

Побудувати множини:

a) ;

b) ;

c) ;

d)

24. Чи можна стверджувати, що А=В, якщо А, В та С – множини, для яких виконані такі рівності:

a) ;

b) ;

c) .

25. Нехай А, В та С – довільні множини. Довести, що:

26. Множина А складається із натуральних чисел, що діляться на 4, множина В – із натуральних чисел, що діляться на 10, множина С – із натуральних чисел, що діляться на 75. Із яких чисел складається множина

27. Дано довільні множини А, В, С такі, що: і і

Чому рівні вирази:

a)

b)

28. Задано довільні множини А, В, С такі, що . Чому рівні множини:

a)

b)

c)

d)

29. Задані множини:

a) А ={ h,o,t } і B ={ t,o,o,t,h };

b) A ={ r,e,s,t } і В ={ s,t,r,e,e,t }.

Чи правильно, що

30. Відомо, що:

a)

b) .

Що випливає з даних рівнянь?

31.Задано, що S ={ a ₁, a ₂, a ₃}, причому відомо, що , A ={ a ₁, a ₂}; , B ={ a ₂, a ₃}; ; C ={ a ₂}. Знайти елементи наступних множин:

a)

b)

c)

d)

32. Нехай U ={1,2,3,4,5}, X ={1,5}, Y ={1,2,4}, Z ={2,5}.

Знайти множини:

a) ;

b)

c) ;

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

33. Нехай U ={ a,b,c,d,e,f }, A ={ a,b,c }, B ={ f,e,c,a }, C ={ d,e,f }.

Знайти множини:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

34. Задані дві довільні множини А та В такі, що Як виглядають множини та

35. Задані дві довільні множини С та D такі, що Як виглядають множини та

36. Задано довільну множину Х. Знайти множини:

a)

b)

c)

d) .

37. Які з наступних тверджень правильні:

a)

b)

c)

38. Спростити вирази:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i) .

39. Довести твердження, використовуючи закони алгебри множин:

a)

b)

c)

d)

40. Для довільних множин А, В, С, D Ì U побудувати діаграми Ейлера-Венна при умові:

a)

b)

c)

41. У студентському потоці 37 людей добре знають математику, а 25 людей – електроніку і 19 людей добре знають і математику і електроніку. Скільки студентів в потоці добре знає тільки один предмет?

42. Із 250 студентів 151 вивчають німецьку мову, 136 – французьку мову, 27 – італійську, 63 – французьку і німецьку, 7 – італійську та французьку, 11 – німецьку та італійську, 4 – всі три мови.

a) Скільки студентів вивчають німецьку чи французьку мову?

b) Скільки студентів вивчають лише італійську мову?

c) Скільки студентів вивчають німецьку і французьку, але не італійську?

d) Скільки студентів не вивчають жодної мови?

e) Скільки студентів вивчають хоча б дві іноземні мови?

43. Знайти декартовий добуток множин А та В і зобразити його на координатній площині:

a) А ={ х ׀ x N, 2 < x ≤ 5}; B ={ y ׀ y N, 3 ≤ y ≤ 8};

b) А ={ х ׀ x R, x >0}; B ={ y ׀ y R, y <0};

c) А ={ х ׀ x R, x ≤2}; B ={ y ׀ y R };

d) А ={ х ׀ x R, 0≤ x ≤1}; B ={ y ׀ y R, 3< y <5};

e) А ={ х ׀ x ² –5 x +6=0}; B ={ y ׀ y ² –1=0};

f) А ={ х ׀ x ³– 4 x =0}; B ={ y ׀ y ² +10 y +24=0}.

44. Про множини А, B, С відомо, що: = {1, 2, 3}, = {3}, ={3}, ={1, 2, 3, 4, 5}, = {4, 5}, {3}, {1, 2}.

Знайдіть множини А, B, С.

45. Про множини А, B, С відомо, що: = { a, b, c, d, e, f,g }, ={ a, b, c, d }, { a, b, c, d, e, f,g }, .

Знайдіть множини А, B, С.

46. Про множини А, B, С відомо, що: { b, c, d }, ={ a }, { a }, ={ a, e, f }.

Знайдіть множини А, B, С.

47. У спортивному таборі 55 % дітей вміють грати в футбол, 58 % — у волейбол і 93 % — у баскетбол. Яка гарантована найменша кількість дітей у %, які вміють грати і у футбол, і у баскетбол, і у волейбол?

48. У класі з 99 учнів 67 уміють плавати, 79 — грати у шахи і тільки 10 не вміють ні того, ні іншого. Скільки учнів уміють плавати і грати у шахи?

Контрольні запитання.

1. Що таке множина та її елементи? Наведіть приклади.

2. Які типи множин ви знаєте?

3. Поясніть на прикладі поняття «потужність множини».

4. Що таке булеан множини?

5. Про які множини можна сказати, що вони власні, а про які –

невласні?

6. Які є способи задання множини? Який із способів найбільш зручний?

7. Для чого використовуються діаграми Ейлера-Вейнна? Наведіть приклад.

8. Поясніть на прикладах використання основних операцій над множинами.

9. Що таке кортеж?

10. Що таке декартів добуток множин. Наведіть приклад.

11. Які основні закони використовують для роботи з множинами?

12. У чому полягає принцип включення і виключення?

13. Якими різними способами можна доводити рівності з множинами?

14. Який спосіб комп’ютерного представлення множин є найпростішим?

15. Які операції використовують при роботі з множинами у комп’ютері?

Список літератури

1. Андерсон Д. Дискретная математика и комбинаторика. – СПб.: Вильямс. – 2003. – 960 с.

2. Капітонова Ю. В., Кривий С. Л., Летичевський О. А., Луцький Г. М., Печурін М. К. Основи дискретної математики. – К.: Наукова думка. – 2002. – 626 с.

3. Кузнецов О. П, Адельсон-Вельский Г. М. Дискретная математика для инженера. – М.: Знергоатомиздат, 1988. – 480 с.

4. Нефедов В.И., Осикова В. А. Курс дискретной математики. – М.:Изд-во МАИ. – 1992. – 264 с.

5. Нікольський Ю.В., Пасічник В.В., Щербина Ю.М. Дискретна математика: Підручник. – Л.: «Магнолія Плюс». – 2005. – 608 с.

6. Новиков Ф. А. Дискретная математика для программистов. – СПб.: Питер. – 2000. – 364 с.

7. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. – М.: Наука. – 1986. – 384 с.

НАВЧАЛЬНЕ ВИДАННЯ

Поиск по сайту: