АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Операції над множинами

Читайте также:
  1. Вексель як форма міжгосподарських розрахунків. Банківські операції з векселями
  2. Доведення рівностей з множинами
  3. Касові операції регламентуються Інструкціями НБУ № 1, № 4, а також Положенням про порядок ведення касових операцій у національній валюті в Україні.
  4. Логічні побітові операції
  5. Міжнародні товарообмінні операції зумовили необхідність встановлення співвідношень між національними грошовими відносинами.
  6. Операції банків та небанківських фінансово-кредитних інститутів на фінансовому ринку
  7. Операції в носовій ділянці
  8. Операції з цінними паперами на українському фондовому ринку
  9. Операції на рогах
  10. Орендні операції з торговельною нерухомістю
  11. Основні види розподілу та кооперації управлінської діяльності. Вибір пріоритетних справ.

 

Вважаємо, що всі множини, що розглядаються, є підмножинами деякого універсуму U.

Означення 4.1. Об'єднанням двох множин та називається множина , що складається з усіх елементів, що належать хоча б одній з множин , :

,

де – знак об’єднання.

На діаграмі Ейлера-Венна об’єднання показується сірим кольором:

Об’єднання складається з усіх елементів множини та усіх елементів множини і не містить ніяких інших елементів.

Операція об’єднання узагальнюється на довільну кількість множин. У такому випадку використовується позначення:

Приклад 4.1.

Ø ,

Ø ,

Ø , ▲

Означення 4.2. Перерізом двох множин та називаєтьсямножина, що складається з тих і лише тих елементів, що належать і ,і В:

,

де – знак перерізу.

На діаграмі Ейлера-Венна переріз показаний сірим кольором:

Операція перерізу узагальнюється на довільну кількість множин. У такому випадку використовується позначення:

Приклад 4.2.

Ø , , ;

Ø , , ;

Ø , ,

Ø {прямокутники}, {ромби}, {квадрати}.▲

Означення 4.3. Різницею множин і називається множина , що складається з усіх тих елементів множини , які не належать :

,

де – знак різниці.

Приклад 4.3.

Ø , , , ;

Ø , , ;

Ø , {непарні числа}, {парні числа}.▲

В означенні різниці, не розглядається випадок . Якщо , то різниця називається доповненням множини В до множини і позначається .

Зобразимо поняття різниці множин за допомогою діаграм Ейлера-Венна:

ТЕОРЕМА 4.1.

Доведення. , тоді

Означення 4.4. Різниця універсальної множини і будь-якої її підмножини А називається доповненням множини до універсальної . Позначається .

На діаграмі Ейлера-Венна доповнення показане сірим кольором:

 

Закони теорії множин

Для роботи із множинами часто використовують закони, наведені у таблиці 4.1.

Таблиця 4.1.

Назви законів Формулювання законів
Закони комутативності
Закони асоціативності
Закони дистрибутивності
Закон подвійного доповнення
Закони ідемпотентності
Закони де Моргана
Закони поглинання
Закони тотожності
Закон домінування
Означення 4.5. Симетричною різницею двох множин та називається різниця об’єднання і перерізу даних множинта позначається .

Геометрична ілюстрація:

Приклад 4.4.

Розглянемо множини ,

.▲

Використовуючи операції ¸ ¸ \¸ можна виражати одні множини через інші. Існує наступний пріоритет операцій: . Для зміни цього порядку у виразі використовують дужки.

Таким чином, множину можна задати виразом, в який входять множини, операції і можуть бути дужки. Такий спосіб задання множини називається аналітичним.

Приклад 4.5. Нехай ; ; ; .

; ; .▲

Означення 4.6. Кортеж – це впорядкований набір елементів.

Означення 4.7. Компоненти кортежу – елементи, що утворюють кортеж.

На відміну від множини, компоненти кортежу можуть повторюватись. Кортеж записують у круглих дужках, наприклад, (a, b, c, a, d, k) – кортеж довжиною 6. Кортежі довжини два часто називають парами, а довжини 3 – трійками.

Означення 4.8. Два кортежі називаються рівними, якщо вони мають однакову довжину та їхні відповідні компоненти рівні. Тобто, кортежі та рівні, якщо m=n, а також

Означення 4.9. Декартовим добутком двох множин та називається множина всіх впорядкованих пар(a,b):

Якщо A=B, то такий добуток називають декартовим квадратом множини А:

Аналогічно можна ввести декартовий добуток трьох , чотирьох і т.д. множин. При скорочено пишуть і кажуть про n -й декартовий степінь множини A. Елементами є послідовності (набори, вектори, рядки) () довжиною n.

Приклад 4.6. 1. Нехай Тоді

2. Нехай – множини символів, які позначають горизонтальні і вертикальні поля шахівниці. Тоді – множина всіх кодів кліток шахівниці.▲


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.008 сек.)