Общее понятие о системах уравнений, используемых в эконометрике

Отдельно взятое Ур-е множ-ой регрессии не может характериз-ть истинное влияние отдельных факторов на вариацию рез-го признака.Поэтому исп-ся система ур-ий,которые могут быть построены различн способами:1.сист независимых Ур-ий.(каждая зависимая переменная у рассматривается как функция одного и того же набора факторов Хi)
Y1=a11X1+a12X2+…+a1nXn+E1
Y2=a21X1+a22X2+…+a2nXn+E2…
Ym=am1Xm+a12X2+…+a1nXn+Em
Набор факторов Х в кажд Ур-ии может варьироваться.Каждое Ур-е может быть рассмотрено самостоят-но и при нахождении парам-ов исп-ся МНК.Тк нет уверенноси,что фак-ры полностью бъясняют завис перемен-е,присутствует своб-й член а.Тк фактич знач-я завис-й перемен-й отлич-ся от теор-их на величину случ-ой ошибки,в каждом Ур-ии присут-ет эта случ ошиб.(ex.модель эконом эффект-ти с/х произв-ва.)
2.сист рекурсивных ур-ий.(когда зависимая переем-ая одного ур-ия выступает в виде фактора Х в др-ом ур-ии)
Y1=A11X1+A12X2+…+A1nXn+E1
Y2=B21y1+A21X1+ …+A2nXn+E2
Y3=B31y1+B32y2+ A31X1+…+A3nXn+E3…
Ym=Bm1y1+…+Bmm-1Ym-1+Am1X1+…+AmnXn+Em
Зависимая переем-ая Yвключает в каждое последующее ур-ие в качестве фак-ов все завис переем-ые предшествующих ур-ий наряду с набором фак-ов Х.(ex.модель производит-ти труда и фондоотдачи)Кажд Ур-е может быть рассм-но самостоят-но.Парам-ры опред-ся методом МНК.
3.Сист. взаимозависимых ур-ий.(наибольшее распростран-ие).В ней одни и те же завис-ые перемен-ые в одних ур-ях входят в левую часть,др-в правую.
Y1=B11Y2+B12Y3+…+B1mYm+1+A11X1+…+A1nXn+E1 Y2=B21Y1+B22Y3+…+B2mYm+1+A21X1+…+A2nXn+E2
Y3=B31Y1+B32Y2+…+B3mYm+1+A31X1+…+A3nXn+E3…
Ym+1=Bm+11Y1+…+Bm+1mYm+Am1X1+…+AmnXn+Em
Получила название «сист одновремен(совместных) ур-ий»:одни и те же.перемен-е Y в одних ур-ях завсис-ые,а в других-независ-ые.Такая система назыв-ся «структурной формой модели».В отличиеот предыдущ.систем,кажд ур-ие не может рассм-ся самостоят-но.МНК не применим.Для опред-ия парам-ов исп-ся спец приемы оценивания.(ex.модель динамики цены и з/п)

21) Виды переменных в системах взаимозависимых уравнений.

23) Проблема идентификации. Порядковое условие идентификации.

24) Проблема идентификации. Ранговое условие индентификации.

Целесообразность проверки условия идентификации модели через

определитель матрицы коэффициентов, отсутствующих в данном

уравнении, но присутствующих в других, объясняется тем, что возможна

ситуация, когда для каждого уравнения системы выполнено счетное

правило, а определитель матрицы названных коэффициентов равен нулю.

В этом случае соблюдается лишь необходимое, но недостаточное условие

идентификации.

В эконометрических моделях часто наряду с уравнениями,

параметры которых должны быть статистически оценены, используются

балансовые тождества переменных, коэффициенты при которых равны

±1. В этом случае, хотя само тождество и не требует проверки на

идентификацию, ибо коэффициенты при переменных в тождестве

известны, в проверке на идентификацию собственно структурных

уравнений системы тождества участвуют.

25) Косвенный метод наименьших квадратов для оценки параметров структурной формы модели.

1. Необходимо построить ПФМ в символьном виде.

2. С помощью обычного МНК найти параметры каждого уравнения ПФМ.

3. С помощью алгебраических преобразований перейти от ПФМ к СФМ.

Этот практически невозможно применять на компьютере, потому что

очень трудно формализовать процедуру.

26) Двухшаговый метод наименьших квадратов для оценки парметров структурной формы модели.

1. Построение ПФМ в символьном виде.

2. С помощью обычного МНК находят параметры каждого уравнения

ПФМ.

3. Для каждого уравнения СФМ выполняют следующие шаги:

(a) В этом уравнении находят эндогенные переменные, являющиеся

факторами.

(b) Используя ПФМ находят выровненные значения (с домиком) тех

переменных, которые были найдены на предыдущем шаге.

(c) С помощью обычного МНК находят параметры данного урав-

нения, причем в качестве эндогенных переменных факторов ис-

пользуют их выровненные значения (не исходные, а выровнен-

ные).

27) Специфика временного ряда как источника данных в эконометрическом моделировании

Эконометрическую модель можно построить, используя два типа исходных данных:

данные, характеризующие совокупность различных объектов в определенный момент (период) времени;

данные, характеризующие один объект за ряд последовательных моментов (периодов) времени.

Модели, построенные по данным первого типа, называются пространственными моделями. Модели, построенные по данным второго типа, назыв. моделями врем. рядов.

Врем. ряды являются осн. источником инфы в эконометрике. Модели на основе рядов динамики могут строиться по 2м направлениям:

По изолированному динамическому ряду

На основе системы рядов динамики, когда один ряд рассматривается как моделируемый объект, а другие – как его факторы.

Временной ряд — это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов (периодов) времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:

- факторы, формир. тенденцию ряда (T);

- факторы, формир. циклические колебания ряда (P);

- случ. факторы (E).

Т.о. уровень динам. ряда можно рассматривать как ф-ю: yt = f (T, P, E)

При разл. сочетаниях этих факторов зависимость уровней ряда от времени может принимать разные формы.

Во-первых, большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, хар-ую совокупное долговрем. воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. По всей видимости, эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель. Однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию. На рис. 6.1 а, б, в показаны компоненты гипотетического временного ряда, содержащего возрастающую тенденцию.

Во-вторых, изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер (регулярные колебания в теч-ие года), поскольку экономическая деятельность ряда отраслей зависит от времени года (например, цены на сельскохозяйственную продукцию в летний период выше, чем в зимний; уровень безработицы в курортных городах в зимний период выше по сравнению с летним). При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой конъюнктуры рынка, а также с фазой бизнес-цикла, в которой находится экономика страны. На рис. 6.1 б представлен гипотетический временной ряд, содержащий только сезонную компоненту.

28) Автокорреляция уровней временного ряда и её последствия.

При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Коэффициент корреляции имеет вид:

В качестве переменой x рассмотрим ряд в качестве переменной y – ряд Тогда коэффициент автокорреляции первого порядка:

Коэффициент автокорреляции первого порядка измеряет зависимость между соседними уровнями ряда t и t-1, т.е. при лаге 1.

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями уt и yt-2 и определяется по формуле:

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Некоторые авторы считают целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов корреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше (n/4).

Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции.

Во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной (или близкой к линейной) связи текущего и предыдущего уровней ряда. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т. д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага называется коррелограммой.

29) Моделирование тенденции временных рядов. Оценивание параметров в уравнениях тренда.

Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда.

Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные виды функций. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:

• линейный тренд:

• гипербола:

• экспоненциальный тренд:

• тренд в форме степенной функции:

• парабола второго и более высоких порядков:

Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время t=1,2,..., n, а в качестве зависимой перемен- 1 ной — фактические уровни временного ряда у.

Существует несколько способов определения типа тенденции. К числу наиболее распространенных способов относятся качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени, расчет некоторых основных показателей динамики. В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путем сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни и тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временно м ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.

Выбор наилучшего уравнения в случае, если ряд содержит нелинейную тенденцию, можно осуществить путем перебора основных форм тренда, расчета по каждому уравнению скорректированного коэффициента детерминации R2 и выбора уравнения тренда с максимальным значением скорректированного коэффициента детерминации. Реализация этого метода относительно проста при компьютерной обработке данных.

При использ.полиномов разл.степени.Оценка параметров ур-я трэнда произ.МНК,т.е.как и в ур-е Регрессии.В кач-ве зависимой перем-й рассм-ся ур-ни динам.ряда,а в кач-ве объясняющ.фактор времени t,кот.обычно обознач.как натур.числа.Оценка параметров любых нелин-х ф-ций м.б.дана при свидении их к линейному виду.

Если н-р рассматр.показательная кривая у=ab,то прологарифм. lny=lna+lnb-лин-е ур-е.Нек-е особен-ти имеет оценка параметров логистич.кривой,т.е.кривой с насыщенными,кот.предпол-т знание асимптоты,ее цели м.б. исслед-и задана на основе анализа временного ряда,те же параметры кривой насыщ.могут быть определены МНК.

31) Модели с лаговыми переменными (основные понятия, определения и направления использования).

В моделях врем рядов зависимая пер-ная может быть связана не только со значением объясняющ пер-ной х в момент времени t, но и со значениями в предыдущ моменты времени (напр потребл-е товаров длит пельз-я зависит как от доходов текущ, так и предыдущ периодов) В таких случаях строится модель с лаговыми объясняющ пер-ными Ct=a+b1*yt-1+b2*yt-2+E (Ct-потребление в пер врем t, yt-1-доход в пер врем t-1,лаговая пер-ная. Объясняющ пер-ные взятые в модели регрессии с запазданием во времени наз-ся лаговыми пер-ными. Величина интервала с запазданием наз-ся лагом. Yt-2 значит лаг=2 Кроме того, в правой части модели лаговой может быть и зависимая пер-ная. Напр спрос на T может зависеть не только от дохода, но и от достигнутого спроса на него в предыдущ период. Тогда модель будет иметь следующий вид: Ct=a+b1*yt+b2*Ct-1+E. Модели регрессии по динамич рядам с лаговыми перемен принято называть динамич моделями. Их можно разделить на 3 класса: 1)модели с лаговыми объясняющ пер-ными или иначе модели с распределенными лагами yt=a+b0*xt+b1*xt-1…+bk*xt-k+E. 2)модели с лаговыми зависим пер-ными (модель авторегрессии) yt=a+bxt+c1yt-1+…+ckyt-k+У 3)модели с лаговыми зависимыми и независ пер-ными (т.е авторегрессион модели с распред лагами) yt=a+b0xt+b1xt-1+..+bkxt-k+c1yt-1+…+cmyt-m+E.

32) Модели авторегрессии.

Модели содержащие в качестве факторов лаговые знач. зависимой переменной называются моделями авторегрессии. Например, y_t=a+b₀x_t+c₁y_t-1+ ε_t. Как и в модели с распределенным лагом b₀ и в этой модели характеризует краткосрочные изменения y_t под воздействием изменения х₁ на 1 ед. Долгосрочный мультипликатор в модели авторегрессии рассчитывается как сумма краткосрочного и промежуточных мультипликаторов b = b₀+b₀ c₁+b₀ c₁²+b₀ c₁³+…=b₀(1+c₁+c₁²+c₁³+…)=b₀/1-c₁

Отметим, что такая интерпретация коэффициентов модели авторегрессии и расчет долгосрочного мультипликатора основаны на предпосылке о наличие бесконечного лага в воздействии текущего знач. зависимой переменной на ее будущее знач.

Одним из возможных методов расчета параметров уравнения авторегрессии является метод инструментальных переменных. Сущность этого метода состоит в том, чтобы заменить перемен­ную из правой части модели, для которой нарушаются предпо­сылки МНК, на новую переменную, включение которой в модель регрессии не приводит к нарушению его предпосылок. Примени­тельно к моделям авторегрессии необходимо удалить из правой части модели переменную y_t-1. Искомая новая переменная, кото­рая будет введена в модель вместо y_{t-1 ь} должна иметь два свойст­ва. Во-первых, она должна тесно коррелировать с y_{t-1 ь} во-вторых, она не должна коррелировать с остатками u_r.

Еще один метод, который можно применять для оценки пара­метров моделей авторегрессии типа — это метод максималь­ного правдоподобия

33) Методы исключения тенденции при построении модели регрессии по временным рядам.

Сущность всех методов исключения тенденции заключается в том, чтобы устранить или зафиксировать воздействие фактора времени на формирование уровней ряда.

Основные методы исклю­чения тенденции можно разделить на две группы:

1)методы, основанные на преобразовании уровней исходного ряда в новые переменные, не содержащие тенденции. Полученные переменные используются далее для анализа взаимо­связи изучаемых временных рядов. Эти методы предполага­ют непосредственное устранение трендовой компоненты Т из каждого уровня временного ряда. Два основных метода в данной группе — это метод последовательных разностей и метод отклонений от трендов;

2) методы, основанные на изучении взаимосвязи исходных уровней временных рядов при элиминировании воздействия фактора времени на зависимую и независимые переменные модели. В первую очередь это метод включения в модель рег­рессии по временным рядам фактора времени.

34. Аддитивная модель сезонности.

Простейшим подходом к моделированию явл расчет знач-ий сезонной компоненты (S) методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели времен ряда. Общий вид аддитивной: Y=T+S+E (T-тренд компонента, S-сезон колебания, E-случайн колебания). Аддитивную модель строят, если амплитуда колебаний примерно постоянна. В ней значения S предполагаются постоян для разн циклов.
Построение аддитвной модели сводится к расчету T, S и E компоненты для кажд ур-ня ряда.

Процесс построения включ в себя след шаги:

Шаг1. Выравнивание исх ряда методом скользящей средней. Для этого:1-проссумируем ур-ни ряда последовательно за каждые 4кв со сдвигом на 1 момент времени; 2-разделив получен суммы на 4, найдем скользящие средние. Полученные т.о. выравнен знач не содержат сезон компоненты. 3-приведем эти знач в соответствие с фактич моментами времени. Для этого найдём средн знач из 2х последовательных.
Шаг2. Расчет S. Найдём оценки S как разность м\у фактич уровнями ряда и центрированными скользящими средними. Используя эти оценки, рассчитаем значения S. Для этого нарисуем нов.табл. Найдем средние за кажд кв. Для этого просуммируем знач для кажд кв. В моделях сезон компоненты предполагается, что сезон воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивн модели это выражается в том, что ∑Si=0.
Рассчитаем корректирующий k-т: k=∑Si/4.
Шаг3. Устранение сезон компоненты из исх ур-ней ряда и получение выравненных ур-ней (T+E). Исключим влияние S, вычитая ее знач-ие из кажд ур-ня исх времен ряда: Yt-S=T+E
Шаг4. Аналитич выравнивание уровней (T+E) и расчет знач трендовых компонент с использованием получен ур-ия тренда. Определим тренд.компоненту дан модели. Для этого проведем аналит выравнивание ряда (T+E) с пом лин.тренда. T=a0+a1*t (a0 и a1 находим по (Yt-Si)). Подставляя в получен ур-ие знач t, найдем тренд.компоненту для кажд момента времени.
Шаг5. Расчет получен по модели знач (T+E). Найдем знач-ия ур-ней ряда, получен по аддитивной модели. Для этого прибавим к знач тренд.компоненты значен сезон компон для соотв-щих кварталов. Для оценки к-ва построенной модели найдем k-т детерминации: R^2=1-∑E^2/(∑(yt-ср.y)^2)
Шаг6. Расчет относит или абсолютн ошибок. Если получен знач ошибок не содержат автокоррел или м/заменит исх ур-ни ряда и в далнейш использ времен ряд ошибок для анализа взаимосвязи исх ряда и др.времен рядов.

35. Мультипликативная модель сезонности.

Простейшим подходом к моделированию явл расчет знач-ий сезонной компоненты (S) методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели времен ряда. Общий вид мультипликативной: Y=T*S*E (T-тренд компонента, S-сезон колебания, E-случайн колебания). Мультипл модель строят, если амплитуда колебаний увеличивается или уменьшается. Она ставит ур-ни ряда в зав-сть от S.
Построение мультипл модели сводится к расчету T, S и E компоненты для кажд ур-ня ряда.

Процесс построения включ в себя след шаги:

Шаг1. Выравнивание исх ряда методом скользящей средней. Для этого:1-проссумируем ур-ни ряда последовательно за каждые 4кв со сдвигом на 1 момент времени; 2-разделив получен суммы на 4, найдем скользящие средние. Полученные т.о. выравнен знач не содержат сезон компоненты. 3-приведем эти знач в соответствие с фактич моментами времени. Для этого найдём средн знач из 2х последовательных.
Шаг2. Расчет S. Найдём оценки S как частное деление фактич уровней ряда на центрирован скользящ среднии. В моделях сезон компоненты предполагается, что сезон воздействия за период взаимопогашаются. В мультипл модели это выражается тем, что ∑ знач-ий сезон компоненты по всем кв д/б=числу периодов в цикле
Определим k-т коррекции: k=4/∑Si.
Шаг3. Устранение сезон компоненты из исх ур-ней ряда и получение выравненных ур-ней (T*E). Найдем величину T*E=Yt/S.
Шаг4. Аналитич выравнивание уровней (T*E) и расчет знач трендовых компонент с использованием получен ур-ия тренда. Определим T. Для этого рассчитаем параметры лин тренда, используя ур-ни (T*E). T=a0+a1*t: подставляя в получен ур-ие знач t, найдем тренд.компоненту для кажд момента времени.
Шаг5. Расчет получен по модели знач (T*E). Найдем ур-ни ряда, умножив значен тренд.компоненты значен на соответств знач сезон компон. Расчет ошибки в мультипликат модели: E=Y/(T*S) Для оценки к-ва построенной модели найдем k-т детерминации: R^2=1-∑E^2/(∑(yt-ср.y)^2)
Шаг6. Расчет относит или абсолютн ошибок. Если получен знач ошибок не содержат автокоррел или м/заменит исх ур-ни ряда и в далнейш использ времен ряд ошибок для анализа взаимосвязи исх ряда и др.времен рядов.

34-35) Аддитивная модель сезонности; Мультипликативная модель сезонности.

Поиск по сайту: