Нормальное распределение

В любых научных исследованиях часто встречаются с опытами, операциями или явлениями многократно повторяющимися в неизменных условиях, при этом, несмотря на постоянство основного комплекса условий с возможной тщательностью воспроизводимых в отдельных опытах их результаты всегда более или менее отличаются друг от друга. То есть они испытывают случайное рассеивание. Классическим примером могут служить измерения каких-либо величин (длина, масса). При повторении измерений одного и того же объекта выполняемых с помощью одного и того же измерительного прибора с одинаковой тщательностью мы никогда не получим одинаковых данных. Даже если исключить возможность систематических погрешностей и грубых промахов с помощью специального исследования и проверки метода измерений, то всё же окажется, что на измерениях будет сказываться влияние многочисленных факторов неподдающихся контролю и варьирующих от одного измерения к другому. К числу таких факторов относятся различные неучитываемые изменения, а именно температура и влажность.

Измерения обнаруживают настолько характерно картину случайного рассеивания, что в тех случаях, когда их последовательные результаты оказываются одинаковыми, можно говорить о недостаточной тщательности выполнения отчётов или о малой чувствительности прибора, или о грубости используемой шкалы. Хотя результат каждого отдельного измерения при наличии случайного рассеивания невозможно заранее предсказать, это ещё не означает, что повторные измерения не обнаруживают никакой закономерности. Эта закономерность хорошо изучена и математически она описывается так называемой нормальной кривой распределения

Площадь под нормальной кривой принимается равной единице или 100%. Площадь отвечающая какому-либо интервалу оси абсцисс изображает вероятность попадания случайного результата измерения в данный интервал. В среднем доля или процент, или частость тех измерений, которые попадают в рассматриваемый интервал приближённо соответствует величине вероятности, и при том тем точнее, чем больше общее число измерений. Таким образом, с ростом числа изменений мы будем наблюдать всё более и более устойчивое и закономерное размещение массы измерений на числовой оси измеряемой величины. Например:

Бюффон провёл следующий опыт:

Монетку подбросили 4040

О: (2048) p=0,5069

Р: (1992) p=0,4931

Задача раздела теории информации (теория поиска). Проблема Хартли

Имеется 27 монет, 26 настоящих и 1 фальшивая (легче) для определения фальшивой монеты имеются равноплечие весы. Определить минимальное количество взвешиваний для нахождения (3).

Из графика (кривой распределения) видно, что основная масса получаемых результатов будет группироваться около некоторого центрального или среднего значения А, где А – значение измеряемой величины при отсутствии систематических ошибок. Среднему значению А отвечает неизвестная истинная величина измеряемого объекта. Отклонения в ту и другую сторону от этого центра будут происходить тем реже, чем больше абсолютная величина таких отклонений. Точный закон убывания вероятностей по мере роста абсолютной величины отклонений имеет очень сложный характер. Однако в общих чертах он описывается приведённым графиком. В интервале от А-δ до А+δ оказывается 68,27 % от всей массы произведённых повторных измерений. В границах вдвое более широких от А-2δ до А+2δ размещается 95,45 % от всех измерений. На участке от А-3δ до А+3δ располагается 99,73%. За пределы правила 3δ выходит 0,27% всего числа измерений. При этом постоянные А и δ носят название параметров нормальной кривой. Если мы в тех же условиях, тем же прибором и с той же точностью будем многократно измерять другой объект со значением А1 (причём А1>A), то центр группирования результатов повторных измерений сместится вправо, причём форма кривой не изменится, т.к. при тех же самых условиях параметр δ сохранит своё значение.

Изменим метод измерения интересующей нас величины А. Будем измерять её другим прибором. Тогда рассеивание результатов измерений будет происходить около центра с прежней абсциссой, но форма нормальной кривой изменится, т.к. среднее квадратическое отклонение зависит от точности метода измерений и будет иметь другое значение. Если новый метод измерения будет более точным, то новое значение параметра δ1 будет меньше параметра δ. Таким образом, δ характеризуют размах случайных колебаний, присущих данному методу измерений. Зная параметр δ для конкретного метода измерений мы тем самым количественно характеризуем степень рассеивания результатов повторных измерений при данном методе. При уменьшении параметра δ, т.е.при повышении точности результата измерений теснее группируются около центра, кривая поднимается в центре и круче спадает к оси. При увеличении δ, т.е. при снижении точности метода измерений рассеивание результатов измерений увеличивается и кривая приобретает более пологий характер.

Кривая нормального распределения часто носит название кривой Гаусса, по имени немецкого математика Гаусса, положившего основы теории случайных ошибок и метода наименьших квадратов. Суть: если бы каждом отдельном случае мы могли располагать большим числом повторных измерений (>100), то как истинные размеры измеряемого объекта параметра А, так и общую зону рассеивания результатов применённого метода измерений, т.е. его точность, которую характеризует δ, было бы сравнительно легко определить построив эмпирическую кривую распределения результатов измерений. По ней с достаточной точностью можно было бы судить о положении центра распределения и на основании свойства устойчивости частостей указать интервал +-δ.

Теория ошибок.

Ошибки измерения.

Измерение объектов не могут быть произведены абсолютно точно, и каждое конкретное измерение даёт лишь приближённое значение величины явления, истинное значение которой неизвестно. Ошибки измерения представляют собой разность между результатом измерения величины явления и истинным его значением. E – ошибка Х – результат измерения, А – истинное значение (Е=Х-А).

Рассмотрим такие измерения, производимые одним наблюдателем, одним и тем же инструментом в одинаковых условиях. Это так называемое равноточные измерения. Различают два вида ошибок измерения:

1. Систематические – такие, которые при данных условиях проведения измерения имеют определённое значение, например ошибка измерительного прибора.

2. Случайные ошибки 0 такие, которые являются результатом взаимодействия большого числа незначительных в отдельности факторов и имеют в каждом отдельном случае различные значения.

Задача статистики предусмотреть возможность возникновения систематических ошибок и добиться либо их ликвидации, либо сведения к минимуму. Случайные ошибки измерения обладают рядом свойств: при большом числе измерений – крупные ошибки встречаются реже мелких, и число положительных оценок примерно равно числу отрицательных.

Если ошибки получаются весьма малыми по сравнению с величиной явления, то ими или пренебрегают, или учитывают только наибольшую возможную ошибку, чтобы обезопасить себя от влияния случайной неточности.

В теории ошибок изучаются такие ошибки, которые вялясь с одной стороны ошибками случайного характера по своему абсолютному значению настолько велики, что ими пренебречь нельзя, а с другой стороны для низ существует закон, позволяющий установить зависимость между величиной ошибки и вероятностью её появления. Закон случайных ошибок Гаусса состоит в том, что случайные ошибки подчиняются закону нормального распределения.

Поиск по сайту: