Вычислить показатели центра распределения

Эконометрика

Сергей Алексеевич Никифоров

Дискретный ряд

Эконометрика рассматривает все явления с точки зрения двух категорий: количество и качество. Из любого массива данных исследователь должен выбрать совокупности необходимые для расчётов и далее определить их с точки зрения качественной и количественной определённости.

Совокупность – количественное проявление однотипных одушевлённых или неодушевлённых объектов и субъектов.

Варианта (Х)- качественное проявление признака изучаемого объекта. В варианте всегда можно выделить диапазон качества (мин – промежуточный – мах) (если есть диапазон)

Частота (f) – количественное проявление признака изучаемого объекта.

Условие: обследованию подвергнуты рабочие цеха на предмет выявления тарифного разряда, возраста и з/п. По полученным данным требуется: построить дискретный ряд распределения; дать графическое изображение ряда; вычислить показатели центра распределения; вычислить показатели вариации; вычислить показатели формы распределения; построить секторную диаграмму.

Теоретическая подготовка:

1. Выбрать необходимые совокупности (совокупность рабочих, возраста, тарифа, з/п);

2. Распределить совокупности на варианты и частоты (Рабочие частота, все остальные – варианты, т.к. там можно выделить диапазон);

3. Определить варианты по рядам распределения (выделение необходимого числа групп). В эконометрике определение начинается с дискретного ряда по принципу «число групп равно числу разновидностей вариант». Дискретный ряд определяется самым узким диапазоном расширения совокупности.

Решение:

1. Построить дискретный ряд, в котором определить варианты, частоты, число групп, накопленные частоты, которые распределить по правилу левой обозначенный цифры (ПЛОЦ). Левая цифра в диапазоне принадлежит данной группе, правая цифра в диапазоне принадлежит последующей группе. Правило не распространяется на последнюю группу.

4 3 3 6 3 5 4 5 6 4 4 4 3 3 2 2 4 2 5 4 2 5 4 4 (все 24 цифры – варианты)

n=24 (Число единиц выборочной совокупности)

nг= 5 (число групп)

Перед построением стандартной таблицы провести процедуру расширения диапазона вариант от левого края влево, от правого края вправо на 1 варианту.

n=∑f=S=24

2.Xср.=∑xf / f=91/24=3,792

3.Мода – варианта, которая встречается в распределении чаще всего. Мо=4 (т.к. fmax=9)

N(Ме)=n+1 / 2=25/2=12,5 принадлежит S плоц (9-17)=>X=4 => Ме=4

Совпадение моды и медианы случайное.

4. Вычислить показатели вариации

Линейное отклонение (d)=X-Xср.=

Среднее линейное отклонение=dср.=∑|x-xср.|f/∑f=∑|d|f/Ef

D^2=∑(x-xср.)^2f / ∑f=∑d^2f / ∑f

К показателям центра распределения относится среднее арифметическое, мода и медиана

Хср

δ=(D^2)^1/2

V=δ/Xср.*100%

5. Вычислить показатель формы распределения.

Показатель асимметрии.

As= Xср. – Мо / δ

Если асимметрия меньше нуля, то это асимметрия левосторонняя, и наоборот. Если асимметрия по модулю меньше единицы, то асимметрия незначительная, если больше – значительная.

6. Построить секторную диаграмму. (см. «График №4)

Секторная диаграмма – круг, разделённый радиусами на отдельные секторы. Частоты из абсолютных показателей перевести в относительные, т.е. вычислить удельный вес, а затем рассчитать градус сектора.

С=360 y% / 100%=y*3,6

Полигон строится в прямоугольных системах координат. По оси абсцисс откладываются значения вариант, по оси ординат значение частот. Полученные точки соединяются последовательно прямыми линиями слева направо.

Гистограмма – система прямоугольников, высоты которых совпадают с частотой, а основание располагается на вариантах с тем условием, что от каждой варианты делается отступ влево и вправо до 0,5 или на половину варианты. Координатные оси совпадают с полигоном.

Кумулята – по оси абсцисс – варианты, по оси ординат – кумуляты (накопленные частоты)

Правило нанесения точек: в первой добавленной варианте накопленные частоты равны нулю. Остальные варианты соответствуют

Интервальный ряд.

Так как первая часть задачи решалась по пяти группам, то и вторая часть задачи должна решаться по пяти группам. Подвергнем обследованию возрастные характеристики рабочих.

Исходные данные: 24 19 26 42 25 28 36 34 35 18 40 18 22 33 42 21 22 23 43 40 29 38 31 27

Однако возраст рабочих имеет более широкий диапазон поэтому применим интервальный ряд.

I=Xmax-Xmin / nгрупп

При расчёте интервала необходимо пользоваться правилом интервала. При получении дробных значений округляем до целых в большую сторону (даже 2,1 округляем до 3)

I=5

1) 18-23

2) 23-28

3) 28-33

4) 33-38

5) 38-43 – границы интервалов вариант. 43 – правая граница последней группы>=Xmax

В интервальном ряду необходимо ввести дополнительные интервалы: от левого края влево, от правого края вправо на 1 интервал. (13-18 и 43-48)

Для облегчения расчётов необходимо рассчитать середину интервала (центр распределения)

x’=Xmax+Xmin / 2

В интервальном ряду подсчёт частоты определяется по ПЛОЦ

Полигон: по оси Х откладываются интервалы границ варианты, по оси Y – частоты, но точки наносятся в системе (Х’: f) (см «График №1» в тетради).

Гистограмма – система прямоугольников, основания которых располагаются на границах интервалов вариант, а высота соответствует частоте (деления все те же самые).

С помощью гистограммы можно определить приближённое значение графической моды. Правую вершину модального прямоугольника соединить с правой вершиной предыдущего прямоугольника, левую вершину модального прямоугольника соединить с левой вершиной последующего прямоугольника. Через точку пересечения этих отрезков опустить перпендикуляр на ось абсцисс – это и будет приближённое значение графической моды. (см тетр. «График №2»)

Модальный прямоугольник – самый высокий. Данное распределение получило название «Бимодальное» (2 частоты). При совпадении 3 частот распределение модой не обладает.

Кумулята: По оси Х откладываются интервалы границ варианты без дополнительных интервалов. По оси ординат откладываются накопленные частоты S.

Методика нанесения точек: Левая граница первого интервала (18:0) является точкой начала графика. В ней накопленные частоты равны нулю. Все правые границы остальных интервалов равны накопленным частотам соответствующих рядов.

С помощью кумуляты можно определить приблизительное значение графической медианы.

Методика: Последнюю ординату разделить пополам. Через полученную точку провести прямую параллельную оси Х до пересечения с кумулятой. Через точку пересечения опустить перпендикуляр на ось Х – это и будет приближённое значение графической медианы. (см тетр. «График №3)

Вычислить показатели центра распределения.

1.Среднее арифметическое

Xср.= ∑x’f / ∑f (x’ – середина интервала)=727/24=30,291

2. Мо= X(Мо)+ I * f(мо)-f(мо-1) /((f(мо)-f(мо-1))+(fмо - f(мо+1))

Xмо - левая граница модального интервала. Модальный интервал определяется по максимальной частоте.

I =интервал распределения

f(мо) – модальная или максимальная частота

f(мо-1) – частота предшествующая модальной частоте

f(мо+1) – частота последующая за модальной частоте

Мо(1)=18+5 * 6-0 / 6-0 + 5=22,286 (22,5)

Мо(2)=38+5 * 6-4 / 6-4 + 6-0=39,25 (39)

Ме=Xме + I *(n+1 /2) – Sме-1 / fме)=28+5 *(12,5-11/3) =30,5

Хме – медианная варианта, левая граница медианного интервала

N(ме)=n+1/2=24+1/2=12,5 (принадлежность Sплоц 11-13)=> X (28-33)=>Xme=28

Fme – частота медианного интервала

Sme-1 – накопленная частота предшествующая накопленной частоте медианного интервала

Me=30,5

Поиск по сайту: