Теоретическая часть. Измерение ускорения свободного падения с помощью математического и физического маятников

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 21

Измерение ускорения свободного падения с помощью математического и физического маятников

Цель лабораторной работы

Цель работы: Изучение процессов и параметров свободных колебаний и параметров математического и физического маятников.

Задачи лабораторной работы

Задача лабораторной работы состоит в определении ускорения свободного падения с помощью математического и физического маятников.

Экспериментальное оборудование, приборы и принадлежности

Лабораторный стенд (рис.1) с физической моделью математического маятника в виде металлического шарика (1), физический (оборотный) маятник (2), оптоэлектрический датчик.

К приборам и принадлежностям
относятся также компьютер с необходимым
программным обеспечением,

соединительный кабель для подключения оптоэлектрического датчика к компьютеру, измерительная линейка.

Рис.1

Теоретическая часть

Периоды колебаний математического и физического маятников зависят от величины ускорения свободного падения g. Период колебаний Т математического маятника равен:

T = 2π (1)

где 𝓁- длина нити математического маятника, точнее, расстояние от точки подвеса до центра шарика. В случае физического маятника

T = 2π (2)

где m - масса физического маятника, 𝓁- расстояние от оси вращения до его центра масс, J - момент инерции физического маятника относительно оси вращения.

Таким образом, для определения g с помощью математического маятника достаточно измерить его период колебаний Т и длину 𝓁, после чего рассчитать ускорение свободного падения g по формуле:

которая следует из (1).

Рис.2

(3)

Проводить измерения g с помощью произвольного физического маятника, опираясь на формулу (2), достаточно затруднительно, т. к. при этом необходимо знать точное значение его момента инерции, положение центра масс и массу. Однако существует прибор, называемый оборотным маятником, при использовании которого задача определения ускорения свободного падения сводится к измерению периода колебаний и некоторого расстояния между элементами конструкции оборотного маятника.

Оборотный маятник является физическим маятником, который устроен следующим образом (см. рис. 2). На стержне (1) закрепляются два груза (2, 3). Стержень имеет две оси вращения (4, 5), расположенные по обе стороны от центра масс системы. Оси вращения для уменьшения трения выполняют в виде

треугольных призм из твердого материала, которые следует устанавливать на специальную опору, закрепленную на подставке.

Оборотный маятник регулируется таким образом, чтобы период его колебаний при установке на одной призме равнялся периоду колебаний его на другой призме. Регулировка производится путем изменения взаимного расположения грузов и призм на стержне.

Выведем формулу периода колебаний оборотного маятника. Согласно формуле Гюйгенса - Штейнера, момент инерции J маятника относительно произвольной оси вращения равен:

J= J_c+ m 𝓁², (4)

где J_с - момент инерции относительно оси вращения, проходящей через центр масс, т - масса маятника, а 𝓁 - расстояние от оси вращения до центра масс. После подстановки (4) в (2) формула для периода колебаний физического маятника примет вид:

T = 2π .

Поскольку оборотный маятник имеет равные периоды колебаний на обеих призмах (осях), полученное соотношение используем для двух расположений маятника:

T = 2π ,

T = 2π . (5)

Здесь и - расстояния от центра масс маятника до ребра первой и второй призмы соответственно.

Возведем формулы (5) в квадрат и умножим на знаменатели правых частей:

Вычтем из первого равенства второе и сократим на т:

Применим формулу разности квадратов в правой части:

(6)

Если в (6) , что означает несимметричность расположения призм относительно центра масс маятника, то, сокращая на получаем:

. (7)

Поскольку призмы расположены по разные стороны от центра масс,

то где - расстояние между соответствующими ребрами

призм (осями колебаний), или приведенная длина оборотного маятника.

На основании (7) легко записывается выражение для периода

колебаний оборотного маятника:

и формула для определения g: