Анализ решения оптимизационной задачи

Никогда не стоит принимать окончательное решение оптимизационной задачи без результатов ее анализа. В качестве главного средства анализа используется математическая модель, позволяющая выполнить параметрический, структурный и многокритериальный анализ задачи.

Параметрическим называется такой анализ, при котором задача решается многократно при различных значениях некоторого исходного данного (параметра). Оценивается влияние этого параметра на результаты решения.

При структурном анализе многократное решение задачи выполняется при различной структуре ограничений и граничных условий. Оценивается влияние ограничений и граничных условий на результаты решения.

Решение задачи по различным критериям (с различными целевыми функциями) составляет суть многокритериального анализа.

Окончательное решение задачи принимается после исследования всех решений, полученных при параметрическом, структурном и многокритериальном анализах.

В качестве примера составления математической модели рассмотрим задачу распределения ресурсов. Под ресурсами понимают, например финансы, энергию, сырье, необходимые для выпуска продукции и получения в конечном итоге прибыли. Естественно стремятся к максимальной прибыли при ограниченном количестве ресурсов.

Пример 1. Определить максимальную прибыль предприятия, выпускающего продукцию в виде изделий трех видов (i = 1, 2, 3). Для изготовления каждого i-го изделия требуются три вида ресурсов: энергетические, финансовые и сырьевые (j = 1, 2, 3).

Исходные данные:

1. наличие на предприятии каждого j-го ресурса b j;

2. норма расхода j-го ресурса на одно изделие i-го вида Oji;

3. прибыль z_i от реализации одного i-го изделия;

4. минимальное количество b₄ всех видов изделий, которое предприятие должно выпустить.

Решение. Обозначим искомые количества 1-го, 2-го и 3-го видов изделий через х_1} х₂ и х₃.

Поскольку необходимо найти максимальную прибыль предприятия, этот экономический критерий и выразим целевой функцией. Прибыль от реализации изделий i-го вида есть произведение z_ix i. Подлежащая максимизации суммарная прибыль от реализации трех видов изделий (целевая функция) будет иметь следующий вид:

Z = z₁x₁+ z₂x₂+ z₃x₃ ^ max. (1.4)

Перейдем к составлению ограничений. Поскольку на одно изделие 1-го вида требуется а₁₁ единиц энергии, на искомое количество х₁ потребуется а₁₁х₁ единиц энергии. Для искомых количеств изделий 2-го и 3-го видов потребуется соответственно а 12 х 2 и а₁₃х₃ единиц энергии. Суммарный расход энергии на выпуск трех видов изделий составит а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + а₁₃х₃ единиц энергии. Эта величина ограничена наличием на предприятии энергетических ресурсов в количестве b₁. Таким образом, ограничение по энергетическим ресурсам будет иметь вид

а₁₁х₁+ а₁₂х₂ + а₁₃х₃ < b₁.

Аналогично составляются ограничения по финансовым и сырьевым ресурсам.

Ограничение минимального суммарного количества выпускаемых изделий запишется как

х₁+ х₂+ х₃ > b₄.

В итоге, вся система ограничений будет иметь вид:

Поскольку количество изделий любого вида не может быть отрицательным числом, граничными условиями будут неотрицательные значения искомых переменных x > 0, i = 1, 2, 3. (1.6)

Выражения (1.4), (1.5) и (1.6) представляют собой математическую модель поставленной оптимизационной задачи.

Выражения (1.4) и (1.5) являются линейно зависимыми от искомых переменных х_г-, следовательно, рассматриваемая оптимизационная задача относится к классу линейных задач, решаемых методами линейного программирования.

Поиск по сайту: