B-сплайни (2D-вигляд)

Тут основна ідея полягає в ітерованій білінійній інтерполяції. Почнемо з деяких визначень. Нехай – чотири точки в . Гіперболічний параболоїд дозволяє наступне параметричне представлення:

У матричній формі це відповідає

Тепер загальне правило побудови B-кривих виглядає:

Нехай буде (N+1)(N+1) тривимірних точок даних (вимірювання на квадратній сітці) і – два параметри. Після ітераційної лінійної інтерполяції для N-разів з фіксованими параметрами з

(3-13)

З

В результаті отримана точка – точка на B-поверхні

Примітка: нумерація точок починається з нуля, отже у нас в загальному є (N+1)(N+1) точок даних. Рівняння (3-13) відноситься до всіх координат даних, а саме, х, у, z (див. Приклад 3.1.1.5).

B-поверхня є параметричною і відповідає точці b₀₀ для для і точці для . Ця поверхня звивається також поміж інших точок (див. рис. 3.7),які, аналогічно 1D-вигляду, показують кінцеві точки інтерполяції. Полігон,створений на основі точок , називається полігоном Безьє або контрольним полігоном B-поверхні

Існує узагальнення для неквадратних сіток, про які більш докладну інформацію можна знайти в Farin (1993).

Приклад 3.1.1.5 (2D-Вигляд) Розглянемо наступні дев'ять просторових вимірювань на сітках 3 × 3:

Як ми можемо визначити параметричну B-поверхню, яка відповідає цьому набору даних? Ми використовуємо (3-13) для першого кроку білінійної інтерполяції:

(*.1)

Обчислення в (*.1) виконується окремо для кожної координати х, у, z. Наприклад, для першого рівняння в (* 0,1), отримуємо:

На другому етапі інтерполюємо результати (*.1):

(*.2)

Рис. 3.7 B-поверхня для даних з прикладу 3.1.1.5.

Кінцеві точки позначені зірочками

Параметрична поверхня в (*.2) – шукана B-поверхня, зображена на Рис. 3.7.

Завдання 2.В Нерегулярні інтервали даних (хаотично розподілених вимірювань) інтерполюються (або описуються) з функціональної залежності.

Регресійні підходи, представлені в завданні 2.А залишаються актуальними для 1D- так же як і для 2D-випадку. Детальніше про регресійні підходи в Sect. 3.2.1 і Chap. 4. Структура B-кривих відповідає систематизованим даним та була описана раніше.

Для визначення B-поверхонь потрібен додатковий крок. Почнемо з тріангуляції точок зразка, ця процедура була описана у завданні 2.В.. Після повного покриття області вимірювань може бути виконаний В-сплайнінг. Тут використовуються спеціальні, так звані тріангуляційні B-сплайни.

Причина застосування спеціальних ваг – або параметрів тут – відповідність внутрішній системі координат по трикутнику є аналогічною підходу до білінійної інтерполяції по трикутній сітці, як показано на 3.1.1.3. Наприклад, це дає

для точки на Рис. 3.2. З іншого боку, приймає координати , які

пов’язані з внутрішньою системою координат в трикутнику .

Тепер, сформулюємо загальне правило для побудови тріангуляційних B-поверхонь:

Відповідно до Farin (1993), ми використовуємо скорочення

Поиск по сайту: