Узагальнені середнє арифметичне, 1D

Приклад 3.1.1.1 Розглянемо наступні часові виміри:

zt = z(1) =0.1, z2 = z(4) = 0.2, z3 = z(7) = -0.1, z4 = z(10) = -0.2

Як значення z0 = z (х0) в точці P₀ = х₀ = 1,3 оцінюється? Використання базових знань шкільної ми можемо отримати середнє значення Z-значень в сусідніх точках х = 1 і х = 4. Очевидно, що це основне середнє арифметичне призводить до z0 = г (1,3) = 0,15. Тут обидва виміри z= 0,1 і z = 0,2 однаково зважений. Іншими словами, основний середнє арифметичне двох Z-значень може бути представлено у вигляді частки від суми вимірювань однаково зважених з вагою 1 на суму цих ваг.

Завдяки інтуїції інженера, відзначимо, що точка P₀ = х₀ = 1,3 знаходиться ближче до х = 1, ніж х = 4. Таким чином, було б логічно припустити, що z-значення в точці х = 1 впливає на оцінку Z-значення в точці х = 1.3 сильніше, ніж Z-значення значення в точці х = 4.Але тепер ми повинні ма ти міру, щоб описати цей вплив об'єктивно. Без будь-яких додаткових відомостей про реальну природу цього впливу, ми можемо розглянути зворотню відстань від точки х = 1,3 до обох сусідіх х= 1 і х= 4 для побудови ваг. Вплив відомих Z-значень на z-значення, яке має бути передбачено, стає сильнішою з зменшенням відстані між даними і точки прогнозування. Таким чином, узагальнена середнє арифметичне з двох Z-значень відповідає:

Цей метод оцінки називається також одновимірна лінійна інтерполяція - "лінійна", тому що просторовий розподіл всіх передбачених значень Z-х між = 1 і х = 4 слід лінії від точки (X₁, Z₁) = (1, 0,1) в точка (Х₂, Z₂) = (4, 0,2).

Але тепер те, що станеться, якщо всі дані Z-значення (а не тільки найближчих сусідів точки прогнозування) вважаються оцінені z-значення в Р₀? Немає проблем: Основна ідея зворотньої відстані залежного зважування не залишається незмінною:

Нарешті, ми можемо обмежити максимальну відстань між точкою даних та точки прогнозу, де досі існує вплив основі інженера або геодезиста досвід і практичні знання. У цьому прикладі, ми припускаємо, що це максимальна відстань має дорівнювати 6. Таким чином, ми отримуємо оцінку на основі тільки трьох із чотирьох заданих значень Z-як

Крім того, ми можемо використовувати функцію впливу, побудований на основі досвіду або практичних знань, а не в залежності від зворотних відстаней для визначення ваги.

z (x) = z 1 ·w 1 (x)+ ... + z 4 ·w 4 (x) =4

i =1 zi ·wi (x)

= 0. 1 ·w 1 (x)+0. 2 ·w 2 (x)+(− 0. 1) ·w 3 (x)+(− 0. 2) ·w 4 (x) ,wi (x) =_1, x = xi

0, x = xj, j _ = i, i, j = 1 ... 4(*.1)

Які ваги відповідають цій умові? Давайте перевіримо наступні ваги побудовані згідно з теорією Лагранжа:

w 1 (x) =(x−x 2)(x−x 3)(x−x 4)(x 1 −x 2)(x 1 −x 3)(x 1 −x 4)=(x− 4)(x− 7)(x− 10)(1 − 4)(1 − 7)(1 − 10),

w 2 (x) =(x−x 1)(x−x 3)(x−x 4)(x 2 −x 1)(x 2 −x 3)(x 2 −x 4)=(x− 1)(x− 7)(x− 10)(4 − 1)(4 − 7)(4 − 10), (*.2)

w 3 (x) =(x−x 1)(x−x 2)(x−x 4)(x 3 −x 1)(x 3 −x 2)(x 3 −x 4)=(x− 1)(x− 4)(x− 10)(7 − 1)(7 − 4)(7 − 10),

w 4 (x) =(x−x 1)(x−x 2)(x−x 3)(x 4 −x 1)(x 4 −x 2)(x 4 −x 3)=(x− 1)(x− 4)(x− 7)(10 − 1)(10 − 4)(10 − 7). (*.3)

Видно, що ми отримаємо вагу w1 (x1) = 1 в (* 0,2) шляхом заміни змінної х, х = x1 = 1. У той же час інші ваги в (* 0,2) і (* 0,3) рівні нулю. Використовуючи ці ваги, ми отримуємо:

z (x 1) = 0. 1 · 1+0. 2 · 0+(− 0. 1) · 0+(− 0. 2) · 0 = 0. 1 = z 1, (*.4)

який вказує, що вимога інтерполяції в точці х = х 1 = 1 виконується. Аналогічно, після заміни змінної х на х = х2 = 4, х = x3 = 7, х = x4 = 10, ми отримуємо

w 2 (x 2) = w 2 (4) = 1, w 1 (4) = w 3 (4) = w 4 (4) = 0 ⇒z (x 2) = z 2 = 0. 2,

w 3 (x 3) = w 3 (7) = 1, w 1 (7) = w 2 (7) = w 4 (7) = 0 ⇒z (x 3) = z 3 = − 0. 1,

w 4 (x 4) = w 4 (10) = 1, w 1 (10) = w 2 (10) = w 3 (10) = 0 ⇒z (x 4) = z 4 = − 0. 2. (*.5)

Підсумовуючи, отримаємо

z (x) = 0. 1 · (x− 4)(x− 7)(x− 10)(1 − 4)(1 − 7)(1 − 10)+0. 2(x− 1)(x− 7)(x− 10)(4 − 1)(4 − 7)(4 − 10)+

+(− 0. 1) · (x− 1)(x− 4)(x− 10)(7 − 1)(7 − 4)(7 − 10)+(− 0. 2) · (x− 1)(x− 4)(x− 7)(10 − 1)(10 − 4)(10 − 7) (*.6)

Функція (* 0,6) є функціональним зв'язком, який ми шукаємо. інтерполяцйний поліном третього порядку (див. 3.3), який описує структуру вихідних даних, таким чином що Z-значення, отримані в цих точках, можна відновити шляхом оцінки.

При використанні будь-якого іншого х-значення, відповідне Z-значення може бути передбачене. Цей поліном лише як приклад поліному третього порядку, який відповідає цій інформації і одночасно виконує вимогу інтерполяції. Звичайно, є й інші аналітичні функції, які виконують цю умову.

Тепер, загальне правило для методу інтерполяції (1D-випадку) Лагранжа може бути сформульоване: Нехай x1, x2,.,,, Хп точок даних (точки) і Z1, Z2,.,,, Zn є Z-значення (вимірювання) в цих точках. Поліноміально апроксимуємо ці дані так, щоб потрібна інтерполяція мала наступний вигляд:

z (x) = N  i =1 zi ·wi (x),

wi (x) =(x−x 1)(x−x 2) ... (x−xi− 1)(x−xi +1) ... (x−xN)*

*(xi −x 1)(xi −x 2) ... (xi −xi− 1)(xi −xi +1) ... (xi −xN), i = 1 ,...,N

wi (xj) = i j =_1, j = i 0, j _ = i (3-4)

Приклад 3.1.1.2_ (2D-Case) Знову ж таки, ми розглянемо такі виміри:

z 11 = z (P 1) = z (1, 0) = 0. 1, z 21 = z (P 2) = z (4, 0) = 0. 2,

z 12 = z (P 3) = z (1, 1) = − 0. 1, z 22 = z (P 4) = z (4, 1) = − 0. 2.

Після 1D-випадку, запитуємо функціональну залежність, що добре узгоджується з даними встановленими таким чином, що потрібна інтерполяція виконується. Таким чином, дані виміри Z-значення повинні бути відтворені точно. Для спрощення подальших рівнянь, номер Z-значення і точки з подвійними індексами 11, 21, 12 і 22 відповідних до замовленої нумерації х і у значень на площині. Спеціальні ваги виміряних значень також використовуються тут:

z (x, y) = z 11 ·w 11 (x, y)+ z 12 ·w 12 (x, y)+ z 21 ·w 21 (x, y)+ z 22 ·w 22 (x, y) =2

i, j =1

zi j ·wi j (x, y)= 0. 1 ·w 11 (x, y)+0. 2 ·w 21 (x, y)+(− 0. 1) ·w 21 (x, y)+(− 0. 2) ·w 22 (x, y),

wi j (x) =_1, x = xi, y = yj

0, x = xk, y = yl, k _ = i, l _ = j; i, j, k, l = 1, 2(*.1)

Побудуємо змінні ваги по:

w 11 (x,y) =(x−x 2)(y−y 2)(x 1 −x 2)(y 1 −y 2)=(x− 4)(y− 1)(1 − 4)(0 − 1),

w 12 (x,y) =(x−x 2)(y−y 1)(x 1 −x 2)(y 2 −y 1)=(x− 4)(y− 0)(1 − 4)(1 − 0), (*.2)

w 21 (x,y) =(x−x 1)(y−y 2)(x 2 −x 1)(y 1 −y 2)=(x− 1)(y− 1)(4 − 1)(0 − 1),

w 22 (x,y) =(x−x 1)(y−y 1)(x 2 −x 1)(y 2 −y 1)=(x− 1)(y− 0)(4 − 1)(1 − 0). (*.3)

Аналогічно прикладу 3.1.1.1_ видно, що потреба в інтерполяції заданих точок виконується. Підводячи підсумок, ми маємо

z (x,y) = 0. 1 · (x− 4)(y− 1)(1 − 4)(0 − 1)+0. 2 · (x− 4)(y− 0)(1 − 4)(1 − 0)+

+(− 0. 1) · (x− 1)(y− 1)(4 − 1)(0 − 1)+(− 0. 2) · (x− 1)(y− 0)(4 − 1)(1 − 0). (*.4)

Функція (* 0,4) є функціональним зв'язком що ми шукаємо. Такі двовимірні многочлени називаються неповними поліномами другого порядку, тому що відповідні члени, х2 і у2 упущені. Крім того, це гіперболічний параболоїд. Він описує структуру даних точок даних, щоб Z-значення, отримані при даних точках залишалися незмінними. Використовуючи будь-яке інше значення X, Y, ми можемо передбачити, що відповідає Z-значенню. Крім запропонованої функції, існують і інші двовимірні поліноми, які підходять для установки цього набору даних.

Поиск по сайту: