Методические указания. Цель работы: овладение способами построения моделей линейной регрессии, выработка умения и навыков оценки надежности коэффициента корреляции

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2

ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ

ПО ОПЫТНЫМ ДАННЫМ

Цель работы: овладение способами построения моделей линейной регрессии, выработка умения и навыков оценки надежности коэффициента корреляции, уравнения регрессии и его коэффициентов.

Содержание работы: на основании опытных данных требуется:

1. Построить корреляционное поле. По характеру расположения точек в корреляционном поле выбрать общий вид регрессии.

2. Вычислить числовые характеристики , , , , , .

3. Определить значимость коэффициента корреляции и найти для него доверительный интервал с надежностью .

4. Написать эмпирические уравнения линий регрессий на и на .

5. Вычислить коэффициент детерминации и объяснить его смысловое значение.

6. Проверить адекватность уравнения регрессии на .

7. Провести оценку величины погрешности уравнения регрессии на и его коэффициентов.

8. Построить уравнение регрессии на в первоначальной системе координат.

Разобранный пример.

В таблице №1 представлены результаты наблюдений зависимости средней заработной платы Y (тыс. руб.) от производительности труда X (тыс. руб.) по цеху технологической связи (по кварталам).

Методические указания

1) Построить на координатной плоскости точки , пользуясь табл. №1. И около построенных точек провести линию тренда.

2) Вычислить статистики , , , , .

Для вычисления статистик рекомендуется заполнить таблицу №2.

Таблица №2
						x 2
24,3	– 11,06	122,3236	8,2	– 2,12	4,4944	590,49	199,26
24,9	– 10,46	109,4116	8,6	– 1,72	2,9584	620,01	214,14
28,1	– 7,26	52,7076	8,7	– 1,62	2,6244	789,61	244,47
30,5	– 4,86	23,6196	8,9	– 1,42	2,0164	930,25	271,45
31,5	– 3,86	14,8996	9,1	– 1,22	1,4884	992,25	286,65
39,3	3,94	15,5236	10,6	0,28	0,0784	1544,49	416,58
40,2	4,84	23,4256	11,3	0,98	0,9604	1616,04	454,26
43,5	8,14	66,2596	11,8	1,48	2,1904	1892,25	513,3
45,4	10,04	100,8016	12,9	2,58	6,6564	2061,16	585,66
45,9	10,54	11,0916	13,1	2,78	7,7284	2106,81	601,29
353,6		640,064	103,2		31,196	13143,36	3787,06

Тогда:

— средняя производительность труда.

— средняя зарплата сотрудников цеха технологический связи,

Þ ,

Þ ,

,

.

3) Для проверки значимости коэффициента корреляции необходимо вычислить статистику t _p по формуле:

.

По таблице критических точек распределения Стьюдента (уровень значимости и числу степеней свободы находим . Так как , выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля. То есть средняя зарплата Y и производительность X труда в цехе связаны линейной регрессионной зависимостью. Проводим приблизительную прямую с на числовой плоскости.

4) Находим доверительный интервал для выборочного коэффициента корреляции с надежностью . .

. Вычисляем среднюю квадратическую ошибку :

.

Записываем доверительный интервал:

или . Полученный результат означает, что по имеющейся выборке следует ожидать влияние производительности труда на рост средней зарплаты работников цеха технологической связи не менее чем на 71 %.

5) Найдем линейные уравнения регрессии на и на , которые являются приближенными уравнениями для истинных уравнений регрессий.

Þ

.

Уравнение регрессии на :

Þ

.

Контроль вычислений: ,

.

Так как условие выполняется, то вычисления выполнены верно.

Из уравнения следует, что при увеличении производительности труда на 1 тыс. руб. средняя зарплата работников цеха технологической связи возрастает на 192,989 рублей.

6) Найдем точку пересечения линий регрессии. Подставляя , в уравнения регрессий, получаем точки, координаты которых совпадают с координатами центра распределения .

7) Найдем коэффициент детерминации. Для линейной регрессии при вычисленном коэффициенте он равен . У нас . Это означает, что 76 % рассеивания средней зарплаты работников технологического цеха связи объясняется линейной регрессионной зависимостью между средней зарплатой и производительностью труда, и только 24 % рассеивания средней зарплаты работников технологического цеха остались необъяснимыми.

8) Проверка адекватности уравнения линейной регрессии на по критерию Фишера — Снедекора. Вычислим статистику по формуле:

, где .

Для нахождения суммы составляем расчетную таблицу №3. Из табл. 2 и 3 находим: , . Тогда

, .

При уровне значимости и числах степеней свободы , по таблице критических точек распределения Фишера — Снедекора находим . Так как , то заключаем, что уравнение линейной регрессии статистически значимо описывает результаты эксперимента.

9) Оценка величины погрешности уравнения регрессии . Найдем относительную погрешность уравнения по формуле:

,

Где , , .

Так как , то . Для нахождения суммы составляем табл. 4.

Тогда , . Так как величина мала, то уравнение линейной регрессии хорошо описывает опытные данные.

Оценим коэффициенты уравнения регрессии. У нас , . Для нахождения отношений и вычислим средние квадратические ошибки коэффициентов по формулам (68) и (69):

Таблица 4
0,02	– 0,17	0,0289
0,03	– 0,16	0,0256
– 0,2	– 0,39	0,1521
– 0,5	– 0,69	0,4761
– 0,5	– 0,69	0,4761
– 0,5	– 0,69	0,4761
0,05	– 0,14	0,0196
– 0,1	– 0,29	0,0841
0,7	0,51	0,2601
0,7	0,51	0,2601
		2,2588

, , .

По таблицам находим: , . Учитывая, что , и , находим:

,

,

.

Так как и , то коэффициенты и уравнения регрессии на значимы. Графиками найденных регрессий являются прямые a, b, представленные на рис. 1.

Вывод: Таким образом, уравнение регрессии , описывающее зависимость средней зарплаты работников цеха технологической связи от производительности труда, значимо описывает опытные данные и может быть принято для практического руководства.

Варианты заданий для практической работы № 2 (ЦДО)

Номер варианта берется по двум последним цифрам зачетной книжки

Вариант № 1. Имеются данные, характеризующие зависимость между стоимостью X основных производственных фондов и объемом Y валовой продукции по десяти однотипным предприятиям:

Вариант № 2. Зависимость между стоимостью X (тыс. млн. руб.) основных средств предприятий и месячным выпуском Y (тыс. руб.) продукции характеризуется следующими данными:

Найти эмпирическую формулу функциональной зависимости месячного выпуска продукции от стоимости основных средств предприятий. Построить эмпирическую и теоретическую линии.

Вариант № 3. Имеются данные наблюдений изменения средней заработной платы Y (руб.) в зависимости от изменения производительности труда X (шт.) за 4 месяца 1992 года по девяти токарям цеха № 23 электромеханического завода:

Вариант № 4. Дано распределение заводов по производственным средствам X (млн. руб.) и по суточной выработке Y (тыс. руб.):

Вариант № 5. Данные нормы расхода моторного масла на угар и замену Y (л/100 л.т.) от максимальной мощности двигателя X (л.с.) приведены в таблице:

Вариант № 6. Результаты наблюдений изменения диаметра Y (мм) вала и износа X (мм) резца приведены в следующей таблице:

Найти зависимость диаметра вала от износа резца.

Вариант № 7. Компанию по прокату автомобилей интересует зависимость между пробегом X автомобилей и стоимостью Y ежемесячного технического обслуживания. Для выяснения характера этой связи было отобрано 15 автомобилей. Данные приведены в таблице:

Вариант № 8. При исследовании зависимости между выпуском готовой продукции Y (тыс. руб.)и энерговооруженностью труда X (кВт-час) получены следующие данные:

Вариант № 9. В таблице приведены данные, характеризующие зависимость израсходованных долот Y (шт.) при бурении 8 скважин в зависимости от механической скорости X (м/с) проходки:

Вариант № 10. Скорость Y (м/час) бурения в твердых породах от нагрузки X (атм.) на долото характеризуется следующими данными:

Найти эмпирическую формулу зависимости Y от X.

Вариант № 11. Зависимость между выработкой продукции X (тыс. руб.) и затратами топлива Y в условных единицах характеризуется следующими данными:

Вариант № 12. Имеются данные распределения заводов по производственным средствам X (млн. руб.) и по суточной выработке Y (млн. руб.):

Вариант № 13. Найти формулу, устанавливающую зависимость между коэффициентом Y сменности техники и ее средним возрастом Х по предприятию ПМК-7 объединения Сибкомплектмонтаж на основании следующих данных:

Вариант № 14. Имеются данные о реализации продукции X (млн. руб.) и накладных расходах Y (тыс. руб.) на реализацию:

Вариант № 15. Зависимость линейной нормы расхода топлива Y (л) от максимальной мощности двигателя автомобиля X (л.с.) характеризуется следующими данными:

Вариант № 16. Имеются данные нормы расхода моторных масел на угар и замену Y (л/100 л.т.) в зависимости от максимального крутящего момента Х:

Вариант № 17. Фазовая проницаемость нефти Y и насыщенность породы нефтью X характеризуются следующими данными:

Вариант № 18. Имеются данные нормы расхода моторных масел на угар и замену Y (л/100 л.т.) в зависимости от максимальной мощности двигателя автомобиля X (л.с.):

Вариант № 19. Зависимость между среднегодовой стоимостью основных производственных фондов X (млн. руб.) и стоимостью товарной продукции Y (млн. руб.) характеризуется следующими данными:

Вариант № 20. Найти формулу, устанавливающую зависимость себестоимости одной тонны нефти Y (в руб.) от затрат X (в тыс. руб.) на одну тонну по следующим данным:

Вариант № 21. Ниже приводятся данные о производительности труда Y (м) на одного чел/час и стаже рабочих X (в годах):

Вариант № 22. Найти формулу зависимости электрического сопротивления R (Ом) проводника от температурыQ˚С по следующим данным:

Построить теоретическую и эмпирическую линии.

Вариант № 23. Найти зависимость израсходованных долот Y при бурении 10 скважин в зависимости от механической скорости X проходки на основании следующих данных:

Вариант № 24. Имеются данные о реализованной продукции X (млн. руб.) и накладных расходах Y (тыс. руб.) на реализацию:

Вариант № 25. В таблице приведены данные, характеризующие зависимость растворимости азотно-натриевой соли S в зависимости от температуры T:

Вариант № 26. При исследовании зависимости хода Y (мм) поршня двигателя автомобиля от максимального крутящего момента X получены следующие данные:

Вариант № 27. Результаты исследования зависимости между средней месячной выработкой Y (млн. руб.) продукции на одного рабочего и стоимостью X (млн. руб.) основных производственных средствприведены в таблице:

Вариант № 28. При исследовании зависимости между выработкой Y (тыс. руб.) и энерговооруженностью X (кВт / час) труда получены следующие данные:

Вариант № 29. При изучении зависимости между производительностью Y (тн / чел.) труда и дебитом X (тн / сут.) скважин получены следующие результаты:

Вариант № 30. При исследовании зависимости времени t (с), затрачиваемого на закрепление детали, от ее веса P (кг) получены следующие результаты:

Поиск по сайту: