Проверим вычисления в MS Excel

Найдем матрицу парных коэффициентов корреляции (Данные®Анализ данных®Корреляция):

Получаем следующий результат:

т.е. ; ; .

С помощью инструмента Регрессия (Данные®Анализ данных®Регрессия) получаем следующие результаты:

Уравнение регрессии:

Множественный коэффициент корреляции:

= 0,98416.

Коэффициент детерминации:

=0,96857.

Скорректированный коэффициент детерминации:

=0,96487.

Фактическое значение -критерия Фишера:

= 261.929.

Фактические значения -критерия Стьюдента:

4.50743, 0.43535.

Доверительные интервалы для параметров регрессии:

,

.

Значения частного -критерия Фишера можно найти как квадрат соответствующего значении -критерия Стьюдента:

, .

Оставшиеся характеристики можно найти, используя известные формулы и полученные здесь результаты.

Задача 3.

Имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии () жителями региона за 16 кварталов.

Требуется:

1. Построить автокорреляционную функцию и сделать вывод о наличии сезонных колебаний.

2. Построить аддитивную модель временного ряда (для нечетных вариантов) или мультипликативную модель временного ряда (для четных вариантов).

3. Сделать прогноз на 2 квартала вперед.

Таблица 3.1

	5,3		8,2
	4,7		5,5
	5,2		6,5
	9,1		11,0
	7,0		8,9
	5,0		6,5
	6,0		7,3
	10,1		11,2

Решение:

1. Построение автокорреляционной функции.

Построим поле корреляции (рисунок 3.1).

Рисунок 3.1. Поле корреляции.

Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорреляции.

Формула для расчета коэффициента автокорреляции первого порядка:

где

Составим вспомогательную таблицу (таблица 3.2):

	5,3	-	-	-	-	-	-
	4,7	5,3	-2,78	-1,79	4,97	7,73	3,19
	5,2	4,7	-2,28	-2,39	5,44	5,20	5,70
	9,1	5,2	1,62	-1,89	-3,06	2,62	3,56
		9,1	-0,48	2,01	-0,97	0,23	4,05
			-2,48	-0,09	0,21	6,15	0,01
			-1,48	-2,09	3,09	2,19	4,35
	10,1		2,62	-1,09	-2,85	6,86	1,18
	8,2	10,1	0,72	3,01	2,17	0,52	9,08
	5,5	8,2	-1,98	1,11	-2,20	3,92	1,24
	6,5	5,5	-0,98	-1,59	1,55	0,96	2,52
		6,5	3,52	-0,59	-2,07	12,39	0,34
	8,9		1,42	3,91	5,56	2,02	15,31
	6,5	8,9	-0,98	1,81	-1,78	0,96	3,29
	7,3	6,5	-0,18	-0,59	0,11	0,03	0,34
	11,2	7,3	3,72	0,21	0,79	13,84	0,05
Сумма	117,5	106,3	0,00	0,00	10,98	65,62	54,22
Ср.знач.	7,48	7,09	-	-	-	-	-

Следует заметить, что среднее значение получается путем деления не на 16, а на 15, т.к. у нас теперь на одно наблюдение меньше.

Теперь вычисляем коэффициент автокорреляции первого порядка:

Коэффициент автокорреляции второго порядка определяется по формуле:

где

Составляем новую расчетную таблицу (таблица 3.3):

	5,3	-	-	-	-	-	-
	4,7	-	-	-	-	-	-
	5,2	5,3	-2,48	-1,77	4,39	6,14	3,14
	9,1	4,7	1,42	-2,37	-3,37	2,02	5,62
		5,2	-0,68	-1,87	1,27	0,46	3,50
		9,1	-2,68	2,03	-5,43	7,17	4,12
			-1,68	-0,07	0,12	2,82	0,01
	10,1		2,42	-2,07	-5,02	5,86	4,29
	8,2		0,52	-1,07	-0,56	0,27	1,15
	5,5	10,1	-2,18	3,03	-6,60	4,75	9,17
	6,5	8,2	-1,18	1,13	-1,33	1,39	1,27
		5,5	3,32	-1,57	-5,22	11,03	2,47
	8,9	6,5	1,22	-0,57	-0,70	1,49	0,33
	6,5		-1,18	3,93	-4,63	1,39	15,43
	7,3	8,9	-0,38	1,83	-0,69	0,14	3,34
	11,2	6,5	3,52	-0,57	-2,01	12,40	0,33
Сумма	107,5		0,00	0,00	-29,78	57,34	54,17
ср.знач.	7,68	7,07	-	-	-	-	-

Теперь вычисляем коэффициент автокорреляции второго порядка:

Аналогично находим коэффициенты автокорреляции более высоких порядков, а все полученные значения заносим в сводную таблицу.

Автокорреляционная функция (таблица 3.4):

Анализ автокорреляционной функции и графика исходных уровней временного ряда позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала (наиболее значительным оказался коэффициент автокорреляции 4-го порядка).

2. Построение аддитивной модели временного ряда.

Общий вид аддитивной модели следующий: .

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (), сезонной () и случайной () компонент.

Построение аддитивной модели сводится к расчету значений , и для каждого уровня временного ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

1) Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2) Расчет значений сезонной компоненты .

3) Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных () в аддитивной модели.

4) Аналитическое выравнивание уровней () и расчет значений с использованием полученного уравнения тренда.

5) Расчет полученных по модели значений ().

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

1.1. Просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии.

1.2. Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние. Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.

1.3. Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние.

№ квартала	Потребление электоэнергии	Итого за четыре квартала	Скользящая средняя за четыре квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
	5,3	-	-	-	-
	4,7	24,3	6,08	-	-
	5,2	26,0	6,50	6,29	-1,09
	9,1	26,3	6,58	6,54	2,56
		27,1	6,78	6,68	0,32
		28,1	7,03	6,90	-1,90
		29,3	7,33	7,18	-1,18
	10,1	29,8	7,45	7,39	2,71
	8,2	30,3	7,58	7,51	0,69
	5,5	31,2	7,80	7,69	-2,19
	6,5	31,9	7,98	7,89	-1,39
		32,9	8,23	8,10	2,90
	8,9	33,7	8,43	8,33	0,58
	6,5	33,9	8,48	8,45	-1,95
	7,3	-	-	-	-
	11,2	-	-	-	-

Таблица 3.5

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними. Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты . Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты .

Таблица 3.6

Показатели	Год	№ квартала,
I	II	III	IV
		–	–	–1,09	2,56
	0,32	–1,90	–1,18	2,71
	0,69	–2,19	–1,39	2,90
	0,58	–1,95	–	–
Всего за -й квартал		1,59	–6,04	–3,66	8,17
Средняя оценка сезонной компоненты для -го квартала,		0,53	–2,01	–1,22	2,72
Скорректированная сезонная компонента,		0,53	–2,02	–1,23	2,72

В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Для данной модели имеем: .

Корректирующий коэффициент: .

Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты () и заносим полученные данные в таблицу.

Шаг 3. Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины . Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 3.7

	5,3	0,53	4,77	5,83	6,36	-1,06	1,121481
	4,7	-2,02	6,72	6,03	4,01	0,69	0,474721
	5,2	-1,23	6,43	6,23	5,00	0,20	0,038809
	9,1	2,72	6,38	6,44	9,16	-0,05	0,003025
		0,53	6,47	6,64	7,17	-0,17	0,027889
		-2,02	7,02	6,84	4,82	0,18	0,032761
		-1,23	7,23	7,04	5,81	0,19	0,035721
	10,1	2,72	7,38	7,24	9,96	0,14	0,018769
	8,2	0,53	7,67	7,45	7,98	0,22	0,050625
	5,5	-2,02	7,52	7,65	5,63	-0,13	0,016129
	6,5	-1,23	7,73	7,85	6,62	-0,12	0,014161
		2,72	8,28	8,05	10,77	0,23	0,052441
	8,9	0,53	8,37	8,25	8,78	0,12	0,013689
	6,5	-2,02	8,52	8,46	6,44	0,06	0,004225
	7,3	-1,23	8,53	8,66	7,43	-0,13	0,016129
	11,2	2,72	8,48	8,86	11,58	-0,38	0,143641

Шаг 4. Определим компоненту данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда () с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие: Подставляя в это уравнение значения , найдем уровни для каждого момента времени.

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов.

На одном графике отложим фактические значения уровней временного ряда и теоретические, полученные по аддитивной модели (рисунок 3.2)

Рисунок 3.2

Для оценки качества построенной модели применим сумму квадратов полученных абсолютных ошибок.

.

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 97% общей вариации уровней временного ряда по кварталам за 4 года.

3. Прогнозирование по аддитивной модели.

Прогнозное значение уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда:

Получим:

;

.

Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны: и .

Таким образом:

;

.

Т.е. в первые два квартала следующего года следует ожидать потребления электроэнергии в объеме 9,59 и 7,24 единиц соответственно.

Список литературы

1. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005.

2. Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2004

3. Практикум по эконометрике: Учебн. пособие / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2002.

4. Сборник задач по эконометрике: Учебное пособие для студентов экономических вузов / Сост. Е.Ю. Дорохина, Л.Ф. Преснякова, Н.П. Тихомиров. – М.: Издательство «Экзамен», 2003.

5. Эконометрика: лабораторный практикум/ Н.И. Шанченко – Ульяновск:УлГТУ, 2004. - 79с.

6. Эконометрика: Учебно-методическое пособие/А.К.Шалабанов, Д.А. Роганов. – Казань.: Академия управления «ТИСБИ», 2004.

Поиск по сайту: