Числовые множества

Примеры числовых множеств: - множество натуральных чисел, - множество целых чисел, - множество рациональных чисел, - множество вещественных чисел. Очевидно, что .

Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными множествами. Два конечных множества мы можем сравнивать по числу элементов и судить, одинаково ли это число или же в одном из множеств элементов больше чем в другом. Таким образом, мы считаем число элементов в каждом из них и сравниваем. Но можно поступить иначе: попытаться установить биекцию (bij), т.е. взаимно однозначное соответствие между элементами этих множеств (соответствие, при котором каждому элементу одного множества отвечает один и только один элемент другого, и наоборот). Ясно, что взаимно однозначное соответствие можно установить между двумя конечными множествами тогда и только тогда, когда число элементов в них одинаково. Например, чтобы проверить, одинаково ли число студентов в группе и стульев в аудитории, можно, не пересчитывая тех и других, посадить каждого студента на определённый стул. Если всем хватит мест и не останется лишних стульев, т.е. будет установлена биекция между множеством стульев и множеством студентов, то число элементов у этих множеств одинаково.

Подсчёт числа элементов в множестве годится лишь для сравнения конечных множеств, а установление биекции между множествами годится и для бесконечных множеств.

Простейшим среди бесконечных множеств является множество натуральных чисел .

Определение. Два множества и называются эквивалентными или равномощными (), если существует биективное отображение на :

.

Из этого определения вытекают следующие отношения эквивалентности:

1) рефлексивность: ,

2) симметричность: если , то ,

3) транзитивность: если и , то ,

где - произвольные множества.

Например, множество натуральных чисел эквивалентно множеству, состоящему из чётных натуральных чисел: .

Определение. Множество называется счётным, если оно эквивалентно (равномощно) множеству натуральных чисел: - счётно, если .

Примеры. 1. Покажем, что множество целых чисел счётно, т.е. что .

Зададим биективное отображение по правилу:

, где - целая часть числа .

Напомним, что если число представить в виде , где , а , то - целая часть числа , - дробная часть числа .

Замечание. Если множество - счётно, то каждому элементу этого множества соответствует некоторое натуральное число . Обозначим этот элемент , а будем считать его номером. Таким образом, множество счётно, если все его элементы можно перенумеровать натуральными числами.

2. Покажем, что множество рациональных чисел счётно, т.е. что .

Каждое рациональное число представим в виде несократимой дроби , где , . Рассмотрим таблицу:

0 1 -1 2 -2 3 -3 4 ……

……

……,

……………………………………………………………

………………………………………………

……………………………………………………………

где -ая строка составлена из несократимых рациональных чисел со знаменателем , расположенных по возрастанию их абсолютных величин, причём за каждым положительным числом следует ему противоположное. Таким образом, каждое рациональное число находится на каком-то месте этой таблицы. Занумеруем элементы таблицы следующим способом:

1 2 4 7 ……

3 5 8 ….………..

6 9 …………………

10……………………..……

…………………………….

Все рациональные числа занумерованы. Следовательно, множество - счётно.

Лемма 1. Любое бесконечное множество содержит счётное подмножество.

Доказательство. Пусть - бесконечное множество. Следовательно, и найдется элемент, принадлежащий данному множеству, который обозначим . Так как множество бесконечно, то множество \ не пусто и в нём найдётся элемент, который обозначим . Так как множество бесконечно, то множество \ и в нём найдётся элемент, который обозначим . Поступая аналогичным образом, получим на -ом шаге, что существует элемент : \ . И так далее. Таким образом, мы построили счётное множество которое является подмножеством исходного бесконечного множества . Лемма доказана.

Лемма 2. Любое бесконечное подмножество счётного множества счётно.

Доказательство. Пусть - счётное множество, т.е. его можно представить в виде . Пусть - любое бесконечное подмножество множества (). Обозначим через тот элемент множества , который имеет наименьший номер в множестве , через тот элемент множества , который имеет ближайший номер к в множестве . Так как - бесконечное множество, то процесс нумерации бесконечен, а следовательно, - счётное множество. Лемма доказана.

Лемма 3. Объединение счётного семейства счётных множеств счётно. Доказательство. Пусть - счётные множества. Обозначим их через . Тогда объединение этих множеств состоит из элементов …

…

………………..

…

………………..

Таким образом, все элементы множества занумерованы, а, следовательно, оно является счётным. Лемма доказана.

Определение. Конечное или счётное множество называется не более чем счётным.

Определение. Множество () называется ограниченным сверху, если

.

Число называется верхней гранью множества .

Множество () называется ограниченным снизу, если

.

Число называется нижней гранью множества .

Множество () называется ограниченным, если оно ограничено и сверху, и снизу:

или

.

Примеры. 1. Множество ограничено снизу любым неположительным числом.

2. Множество ограничено сверху любым числом, больше либо равным 1, и ограничено снизу любым числом, меньше либо равным .

3. Множество ограничено сверху любым числом, больше либо равным 1, и ограничено снизу любым неположительным числом.

Определение. Пусть множество () ограничено сверху. Наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху множество , называется его точной верхней гранью и обозначается (супремум множества ).

Пример. Для множеств и

.

Супремум множества совпадает с его максимальным элементом ().

Из определения следует, что

или

Определение. Пусть множество () ограничено снизу. Наибольшее среди всех чисел, ограничивающих снизу множество , называется его точной нижней гранью и обозначается (инфимум множества ).

Пример. 1. .

2. Для множеств и

.

Инфимумы множеств и совпадают с их минимальными элементами ().

Из определения следует, что

или

Заметим, что , если множество не ограничено сверху и , если множество не ограничено снизу.

Так, например, , .

Теорема (свойство непрерывности множества действительных чисел). Пусть , , , и .

Тогда .

Теорема (принцип Кантора вложенных сегментов). Пусть - система отрезков, удовлетворяющих условиям:

1) (система вложенных сегментов);

2) (стягивающаяся система отрезков).

Тогда (т.е. ).

Доказательство. Докажем существование элемента : .

Пусть множество состоит из левых концов сегментов , т.е. , а множество состоит из левых концов сегментов , т.е. . Очевидно, что (из условия 1) теоремы). Тогда в силу свойства непрерывности множества действительных чисел . В частности, . Таким образом, , т.е. .

Докажем единственность элемента методом доказательства от противного. Предположим обратное, т.е. что и . Пусть, например, . Тогда . Но по условию 2) теоремы . Следовательно,

,

В частности, при получаем, что , откуда, , что невозможно. Пришли к противоречию, а, следовательно, единственность элемента доказана. Теорема доказана.

Замечание. Заметим, что для доказательства существования элемента мы использовали только свойство 1) условия теоремы, т.е. то, что мы имеем систему вложенных сегментов, а для доказательства его единственности – свойство 2), т.е. то, что мы имеем стягивающуюся систему сегментов.

Теорема Кантора. Множество действительных чисел не является счётным, т.е. .

Доказательство. Покажем, что любой отрезок числовой прямой () не является счётным множеством методом доказательства от противного.

Предположим противное, т.е. что отрезок является счётным множеством, а значит, все его элементы можно занумеровать: . Обозначим через отрезок такой, что и . Обозначим через отрезок такой, что и . Далее продолжаем этот процесс. На -ом шаге обозначим отрезок такой, что и . Продолжая этот процесс далее, мы получим систему вложенных сегментов такую, что . По принципу Кантора вложенных сегментов , а, следовательно, . Но все точки отрезка перенумерованы, т.е. . Следовательно, мы получили, что

,

в частности, , что невозможно в силу построения отрезков . Мы пришли к противоречию, тем самым доказав, что любой отрезок числовой прямой не является счётным множеством.

Далее, если бы множество действительных чисел было счётным, то по лемме 2 любое его бесконечное подмножество, в частности, и любой отрезок, было бы счётным множеством, что противоречит уже доказанному. Теорема Кантора доказана.

Поиск по сайту: