|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Формулы сокращенного умноженияМОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ Е.А. Жукова, Л.Д. Жулева
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Справочный материал и пособие к практическим занятиям и СРС для студентов 1 и 2 курсов всех специальностей и форм обучения
Москва 2012
Ø Первообразная и неопределённый интеграл Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на (a,b), если F/(x)=f(x) на (a,b). Множество всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается Основные свойства неопределенного интеграла 1. 2. 3. 4. 5. 6. Если 7. Если x=x(t) непрерывно дифференцируемая функция, то Таблица 1 Таблица простейших часто встречающихся интегралов 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. При применении свойств 6 и 7 полезно использовать табл. 2. Таблица 2 Таблица основных дифференциалов 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Рассмотрим примеры нахождения неопределенного интеграла методом «подведения под знак дифференциала», т.е. будем использовать табл. 2. Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Ø Интегрирование путем замены переменной Один из наиболее распространенных методов, применяемых при вычислении неопределенных интегралов, метод замены переменных или подстановки. Если известно, что
Способ подстановки состоит в том, что сообразно виду подынтегральной функции составляют вспомогательную функцию, подстановка которой в исходный интеграл приводит его к виду более удобному для интегрирования (часто табличному). Рассмотрим примеры, уже решенные ранее:
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Используем замену в более сложных примерах. Пример 5 В этом случае используется форма подстановки, а именно и Пример 6 Использование универсальной тригонометрической подстановки
Метод замены переменной является одним из общих методов интегрирования. Умения использовать такие подстановки, которые упрощают подынтегральные выражения, вырабатываются практикой. Общих указаний по выбору выгодной подстановки дать нельзя. Ø Интегрирование по частям Пусть
Пример 7
Пример 8
Рассмотрим получившийся интеграл Ответ:
Замечания Метод интегрирования по частям применяется при интегрировании следующих видов функций. 1. При интегрировании функций вида
Пример 9
Пусть Тогда последнее равенство может быть переписано в виде
Получим уравнение Отсюда
2. Метод интегрирования по частям может быть использован при интегрировании функций Пример 10
Рассмотрим получившийся интеграл.
Ответ:
Пример 10 может быть решен методом замены. Пусть
При вычислении одного и того же интеграла разными методами могут получаться отличные друг от друга ответы. Здесь имеем две функции Предлагается проверить самостоятельно.
3. Необходимо иметь в виду, что применение метода интегрирования по частям приводит к частичному интегрированию, т.к. правая часть формулы (1) содержит интеграл. Но при правильном применении метода этот интеграл получается табличным или просто приводящимся к табличному. Если в результате применения метода интегрирования по частям в правой части получается интеграл сложнее исходного, необходимо заново применить этот метод, разбив подынтегральное выражение на другие два множителя U и dV, из которых первый дифференцируется, а второй интегрируется при переходе к интегралу в правой части. Умения правильного использования этого метода приобретаются только в результате упражнений.
Ø Интегрирование дробно-рациональных выражений 1. 2. Обозначим: Сделаем замену переменных
Имеем:
3. Пусть
Тогда
Найдя коэффициенты А,В,С и D, мы придем к вычислению трех уже известных интегралов
Пример 11
Т.к
Других удобных значений X у нас нет. Применим метод сравнения коэффициентов при одинаковых степенях X в левой и правой частях.
Имеем
Ø Необходимые сведения и формулы Формулы сокращенного умножения
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.015 сек.) |