ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Очень часто стержни подвергаются действию поперечной нагрузки или внешних пар (рис. 5.1). При этом в поперечных сечениях стержня возникают изгибающие моменты, т.е. внутренние моменты, плоскость действия которых перпендикулярна плоскости поперечного сечения стержня. При действии такой нагрузки ось стержня искривляется. Указанный вид нагружения называют изгибом, а стержни, работающие в основном на изгиб ,– балками.

Изгиб называют чистым, если изгибающий момент является единственным внутренним усилием, возникающим в поперечном сечении стержня. Чаще в поперечных сечениях стержня наряду с изгибающими моментами возникают также и поперечные силы. Такой изгиб называют поперечным.

Если плоскость действия изгибающего момента (силовая плоскость) проходит через одну из главных центральных осей поперечного сечения стержня, изгиб носит название простого или плоского (применяется также название прямой изгиб). Если плоскость действия изгибающего момента в сечении не совпадает ни с одной из главных осей сечения, изгиб называют косым.

Во всех этих случаях роль балок заключается в том, чтобы, приняв нагрузку от других элементов конструкции, передать ее тем частям, которые, в свою очередь, под­держивают балку. Таким обрядом, на балку действуют приложенные силы (нагрузки) и реакции опор.

Нагрузки сводятся к сосредоточенным силам F (H, кН), сосредо­точенным моментам m, М (кН·м), распределенным по длине балки нагрузкам, измеряемым интенсивностью q (кН/м).

При изгибе решающее влияние на прочность оказывают нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях. В отличие от случая растяжение – сжатие при изгибе нормальные напряжения распределяются неравномерно (рис. 5.2). Закон распределения нормальных напряжений в сечении описывается выражением

(5.1)

В соответствии с этой формулой напряжение в некоторой точке В, взятой в рассматриваемом сечении, зависит от изгибающего момента М, действующего в сечении, координаты y точки В и от величины главного момента инерции .

Отметим, что координатные оси x и y являются главными центральными осями сечения.

Рис. 5.1. Напряжения при изгибе

Максимальные нормальные напряжения в сечении возникают в во­локнах, наиболее удаленных от нейтральной оси. Если нейтральная ось является осью симметрии поперечного сечения балки, то, учитывая, что осевой момент сопротивления , максимальные по абсолютной величине напряжения можно определить по формуле

(5.2)

где - абсолютная величина изгибающего момента;

- момент сопротивления изгибу;

- расстояние от оси x до наиболее удаленной от нее точки сечения.

Таким образом, при расчете наибольшего напряжения в балке постоянного поперечного сечения необходимо:

а) найти изгибающие моменты во всех сечениях, т.е. построить эпюру М;

б) вычислить момент сопротивления изгибу для заданного сечения;

в) вычислить по формуле (5.1) наибольшее напряжение в балке, приняв во внимание, что это напряжение возникает в сечении с наибольшим по абсолютной величине изгибающим моментом.

Условие прочности балки из пластичного материала имеет вид

(5.3) Исходя из этого условия, решают задачи трех типов:

1) проверочный расчет – определяют максимальные нормальные напряжения в опасном сечении балки и сравнивают с допускаемыми;

2) проектировочный расчет – определяют требуемое значение момента сопротивления и размеры поперечного сечения, а затем проверяют, удовлетворяют ли они условию прочно­сти по касательным напряжениям и условию жесткости

3) определение допускаемой нагрузки .

Для построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов существует несколько способов:

1) аналитический (с использованием уравнений поперечных сил и изгибающих моментов для каждого участка);

2) по характерным точкам и значениям изгибающих моментов на границах участков;

3) путем сложения результатов действия сил.

В сечении, где приложена сосредоточен­ная сила F, на эпюре Q имеется скачок, рав­ный модулю силы F, а на эпюре М – точка перегиба (излом).

В сечении, где приложен сосредоточенный момент m (пара сил), на эпюре М имеется скачок, равный моменту пары, а эпюра Q остается без изменений.

На участке балки, где действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q, эпюра М – парабола, обращенная выпуклостью в сторону, противоположную направлению нагрузки, а эпюра Q – наклонная прямая.

В сечении балки, где Q = 0, момент М имеет экстремальное (max или min) значе­ние.

Характер эпюры определяется способом «нагружения» (рис. 5.2).

Рис. 5.2. К правилу знаков

Правильность постро­ения эпюр Q и М следует проверять с помощью теоремы Журавского:

(5.4)

где α – угол, который составляет касательная к эпюре моментов с положительным на­правлением оси Z.

При плоском поперечном изгибе балки ее ось располагается силовой плоскости; продольные волокна на выпуклой части удлиняются, на вогнутой – укорачиваются.

Совокупность волокон, не меняющих своей длины при изгибе балки, называется нейтральным слоем. Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения и проходящая через центр тяжести сечения называется нейтральной осью (линией) сечения.

В точках поперечных сечений балок при плоском изгибе возника­ют и касательные τ напряжения:

(5.5)

где I_x – осевой момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси X;

Q – поперечная сила в рассматриваемом сече­нии;

– статический момент любой отсеченной части сечения (верхней или нижней) относительно нейтральной оси;

b – ширина сечения в рассматриваемом слое материала.

Порядок определения следующий:

1) через точку, в которой необходимо определить касательные на­пряжения, проводят секущую плоскость, параллельную нейтраль­ной оси X;

2) подсчитывают ,

где – расстояние от нейтраль­ной оси до центра тяжести отсеченной части.

Весьма прочные балки могут оказаться непригодными к эксплуа­тации из-за недостаточной жесткости. Деформации балки (рис. 5.3) можно определить по методу начальных параметров с использованием обобщенных дифференци­альных уравнений:

(5.6)

(5.7)
где – соответственно прогиб и угол поворота в начале коорди­нат;

а, b – расстояния от начала координат до сечений, в которых приложены соответственно сосредоточенный изгибающий момент m и сосредоточенная сила F;

с, d – расстояния от начала координат до сечений, в которых соответственно начинается и заканчивается дей­ствие распределительной нагрузки.

Рис. 5.3. К определению деформаций

Порядок определения деформаций следующий:

1) находят опорные реакции;

2) выбирают начало координат в крайней левой точке балки (система координат – правая);

3) записывают уравнение для интересующего сечения, учитывая, что:

а) правило знаков то же, что и для изгибающего момента при построении эпюр; слагаемые располагаются в той же последовательности, что и силовые факторы на балке, но в уравнении учитываются лишь те, которые расположены слева от сечения;

б) в уравнении, полученном методом интегрирования, функция должна быть непрерывной, т.е. если на балку действует распределенная нагрузка, которая обрывается до исследуемого сечения, то ее следует продлить до него вправо, приложив одновременно равную по модулю, но противоположно направленную нагрузку. В уравнении учитываются обе нагрузки, но с противоположными знаками;

4) определяют начальные параметры; при этом следует иметь в виду следующее:

а) если начало координат совпадает с защемлением балки, то

б) если начало координат находится на шарнирно-подвижной или шарнирно-неподвижной опоре, то а определяют из условия, что прогиб на другой опоре равен нулю;

в) если начало координат расположено на левой консоли, то . В этом случае начальные параметры определяют из условия, что прогибы на обеих опорах равны нулю. Полученная система уравнений решается относительно .

Статически неопределимыми называют балки, для которых из условий статики нельзя определить все реактивные составляющие, возникающие в местах закрепления. Степень статической неопреде­лимости балки устанавливается по числу лишних неизвестных, ко­торые нельзя определить из условий статики.

Поиск по сайту: