ХАРАКТЕРИСТИК ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

Пример 4.1. Определить положение главных центральных осей и вычислить величины главных центральных моментов инерции сечения, имеющего форму полукруга (рис. 4.7, а).

Решение.

1. Определяем положение центра тяжести сечения. Центр тяжести лежит на оси у, так как она является осью симмет­рии. Выбираем вспомогательные оси и и v и определяем коор­динаты и_с и v_c. Очевидно,

Так как полукруг не может быть разбит на части более простой формы, то статический момент его может быть определен лишь путем интегрирования:

где

Тогда

Для определения статического момента полукруга можно также разбить его площадь на элементарные секторы (рис. 4.7, б). Площадь каждой из таких секторов определяется как площадь треугольника с основанием Rdβ и высотой R, т.е.

а ордината его центра тяжести

Таким образом,

а) б)

Рис. 4.7. К примеру 4.1

2. Определяем главные центральные моменты инерции сечения. Одной из главных осей является ось симметрии у, вторая главная ось x проходит через центр тяжести сечения перпендикулярно пер­вой.

Очевидно,

Определим момент инерции

Пример 4.2. Определить положение главных центральных осей и вычислить величины главных центральных моментов инерции сечения, изображенного на рис. 4.8.

Решение.

1. Определяем положение центра тяжести сечения. Центр тяжести лежит на оси симметрии сечения. Выбираем систему вспомогательных осей и и v, разбиваем сечение на два прямоугольника и по формуле определяем координату

Рис. 4.8. К примеру 4.2

2. Определяем главные центральные моменты инерции сечения. Одной из главных осей является ось симметрии y, вторая главная ось x проходит через центр тяжести сечения перпендикулярно к первой.

Вычисляем момент инерции

Моменты инерции составляющих фигур и определим, применив формулу перехода к осям, параллельным центральным, т.е.

где и – моменты инерции прямоугольников I и II относительно собственных центральных осей и ;

– расстояния между указанными осями и осью x (рис. 4.8).

Подставляя числовые значения, получаем

Вычисляем момент инерции

В данном случае ось y является одновременно как главной осью прямоугольников I, II, так и всего сечения.

По формуле

, ,

Пример 4.3. Задано сечение бруса (рис. 4.10), состоящее из равнобокого уголка 7,5х7,5х0,5 см, прямоугольника размерами 20х1,5 см², швеллера № 16. Найти положение главных центральных осей, величин главных центральных моментов инерции, осевые моменты сопротивления сечения. Построить круг и эллипс инерции.

Рис. 4.10. Схема для определения положения центра тяжести

1. Определяем координаты центра тяжести С всего сечения. Для этого с учетом таблиц сортамента (приложение 1) вычерчиваем в масштабе заданное сечение (рис. 4.10), определяем площадь и положение центра тяжести каждого элемента сечения. Выбираем произвольные оси для всего сечения и центральные оси элементов. Вычисляем статические моменты площади Результаты записываем в табл. 4.1. Вычисляем координаты центра тяжести всего сечения:

Проводим центральные оси всего сечения (рис. 4.10).

Таблица 4.1

Вычисление статических моментов площади

номер эле- мента	площадь сечения элемента	координаты центров тяжести элементов в осях x, y	статические моменты площади,
	18,1 7,39	8,25 5,48	1,80 17,98	32,6 132,9	247,5 307,7 40,50

2. Находим моменты инерции относительно центральных осей каждого элемента сечения.

Прямоугольник

,

так как оси являются осями симметрии.

Швеллер № 16

(из таблицы сортамента)

Равнобокий уголок 7,5х7,5х0,5.

Из таблицы сортамента находим:

.

Центробежный момент инерции равен

ПРИМЕЧАНИЕ. В качестве примера рассмотрим сечение (рис. 4.13, б) в виде неравнобокого уголка 10x6,3x1 [1]:

Находим центробежный момент инерции

3. Находим моменты инерции всего сечения относительно собственных центральных осей . Производим вычисления в соответствии с табл. 4.2. При этом координаты центров тяжести элементов в осях определяем с учетом рис. 4.14. Моменты инерции , получаем по формулам

Таблица 4.2

Вычисление моментов инерции

Номер элемен.	Площадь элемента	Координаты центров тяжести элементов в осях , см	Моменты инерции элементов относительно собственных центральных осей, см4	Составляющие моментов инерции при параллельном переносе осей, см4	Моменты инерции элементов относительно центральных осей , см4
		-2,45	+1,61		5,6			77,7	-118,5	1077,7	185,6	-118,5
	18,1	6,3	-6,59	63,3			713,39	786,08	-751,5	849,38	1465,39	-751,51
	7,39	-4,22	9,59	39,5	39,5	-23,1	131,62	679,66	-299,0	719,16	171,12	-322,17
	55,49		2646,2	1822,1	-1992,2

4. Находим положение главных центральных осей инерции сечения

Так как > 0, то откладываем его против часовой стрелки от осей и проводим главные центральные оси (рис. 4.14).

5. Вычисляем главные центральные моменты инерции сечения с учетом данных табл. 4.2:

Поскольку элементарные площадки сечения в большей мере удалены от оси , чем от оси , то отсюда следует

Рис. 4.14. Схема к определению моментов инерции площади сечения

6. Находим осевые моменты сопротивления

Наиболее удалена от оси точка A, от оси - точка B (рис. 4.14). В осях их координаты равны: A (-10,7 см; +11,61 см), B (+14,3 см; -1,99 см). В главных центральных осях их координаты равны

С учетом этого получаем осевые моменты сопротивления

7. Определяем главные радиусы инерции сечения

Полученные значения принимаем за полуоси и строим эллипс инерции (рис. 4.11).

8. Решаем поставленную задачу графоаналитически с помощью круга инерции О.Мора по методике, изложенной в п. 11 при рассмотрении обратной задачи.

Дано:

Найти: , , .

Получаем: , (рис. 4.15)

Результаты аналитического и графического решений практически совпадают.

Рис. 4.15. Построение круга инерции О.Мора

ВАРИАНТЫ ЗАДАЧИ «С.1»

Поиск по сайту: