ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ. Расчеты на прочность и жесткость при кручении и изгибе сопря­жены с использованием таких геометрических характеристик сече­ний

Расчеты на прочность и жесткость при кручении и изгибе сопря­жены с использованием таких геометрических характеристик сече­ний, как статические моменты площади сечения S_x, S_y, моменты инерции - осевые центробежный D_xy, полярный J_p, моменты сопротивления сечения бруса -осевые W_x, W_y, полярный W_p.

Статическими моментами площади сечения относительно осей X и Y называются определенные интегралы вида:

(4.1)

где A – площадь сечения; dA – ее элемент; х, у – координаты этого элемента

(4.2)

где х_C, у_C – координаты центра тяже­сти сечения.

Статический момент сечения в зависимости от его положения относительно оси может быть положительным, отрицательным и равным нулю (относительно любой центральной оси).

Статический момент сечения относительно оси равен алгебраиче­ской сумме статических моментов всех составляющих сечение час­тей относительно той же оси.

Ось, относительно которой статический момент площади сечения равен нулю, называется центральной. Центральных осей сечения можно провести бесконечное множество. Точка пересечения центральных осей называется центром тяжести сечения. Координаты центра тяжести C сечения вычисляются по формулам

Координаты центра тяжести сложного сечения:

(4.3)

Центр тяжести симметричного сечения лежит на оси симметрии либо в центре симметрии.

Алгоритм определения положения центра тяжести сечения:

1) разбить сечения на простые части, для которых центры тяжести известны;

2) выбрать вспомогательные оси координат;

3) определить координаты центров тяжести отдельных частей относительно выбранных осей X_i, и У_i, а также их площади A_i, и статические моменты A _iX _i, и А _i У _i;

4) вычислить искомые координаты Х_С и У_С центра тяжести.

Определенные интегралы вида

(4.4)

называют осевыми моментами инерции сечения, т.е. сумма произведений элементарных площадок на квадрат расстояний до оси [см⁴]. Осевой момент инерции сечения может быть только положительным.

Центробежным моментом инерции сечения относительно системы осей XOY называется сумма произведений элементарных площадок на их координаты (рис. 4.1.) [см⁴]:

(4.5)

Центробежный момент инерции сечения может быть положительным, отрицательным и равным нулю.

Координатные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называется главными. Главные оси можно провести в каждой точке сечения. Следовательно, главных осей инерции существует бесчисленное множество. В расчетах на прочность и жесткость, как правило, используются геометрические характеристики сечений относительно главных центральных осей инерции. Главными центральными называются оси, проходящие через центр тяжести сечения, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю. Как правило, для каждого сечения существует только одно положение главных центральных осей. Исключение составляют только некоторые сечения (круг, квадрат, правильный многоугольник и т.п.). Для таких сечений любые центральные оси являются одновременно и главными. Если сечение симметрично, то ось симметрии всегда является одной из главных осей инерции. Моменты инерции сечения, вычисленные относительно главных центральных осей, называются главными центральными моментами.

Полярным моментом инерции сечения (рис. 4.1) называется сумма произведений элементарных площадок на квадрат расстояний ρ до выбранной точки 0, называемой полюсом:

(4.6)

В качестве полюса выбирается центр тяжести сечения. Полярный момент инерции может быть только положительным. Поскольку , то полярный момент инерции можно представить следующим образом:

или полярный момент равен сумме двух осевых моментов инерции

(4.7)

Осевые моменты сопротивления W_x, W_y [см³] вычисляются относительно главных центральных осей по формулам

(4.8)

где , - главные центральные моменты инерции;

, - координаты точек сечения, которые наиболее удалены от главных центральных осей.

Полярный момент сопротивления W_p [см³] определяется как

(4.9)

где - радиус точек сечения, наиболее удаленных от полюса.

Осевые и полярный моменты сопротивления могут быть только положительными.

При вычислении геометрических характеристик следует иметь в виду:

- статические моменты площади, осевые, центробежный и полярный моменты инерции составного сечения равны алгебраической сумме аналогичных величин, составляющих сечение элементов;

- для сечения, содержащего полость, статические моменты площади, осевые, центробежный и полярный моменты инерции равны разности соответствующих величин для контурной фигуры и полости;

- осевые и полярный моменты сопротивления составного сечения не складываются и не вычитаются, а определяются только через соответствующие моменты инерции.

Формулы для вычисления геометрических характеристик простейших наиболее часто встречающихся сечений бруса приведены в приложении 1.

Для сечений прокатных профилей (двутавр, швеллер, уголок) значение геометрических характеристик приведены в приложении 2.

Поиск по сайту: