ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ НА ИЗГИБ

Пример 5.1. В соответствии со схемой, приведенной на рис 5.4, опре­делить размеры поперечного сечения деревянной балки при [σ] = 10 МПа для двух вариантов: 1) сечение – прямоугольник с соотно­шением сторон h/b = 2; 2) сечение – круг диаметром d. Проверить прочность балки по касательным напряжениям, если [τ]= 3 МПа.

Решение.

1. Определяем опорные реакции:

Разбиваем балку на характерные участки I, II, границами которых являются точки приложения нагрузок A, B, C.

Рис. 5.4. К примеру 5.1

Определяем Q и M для каждого участка.

Для участка I:

Для участка II:

Строим эпюры Q и M.

2. Подбираем сечение балки. Из условия прочности имеем:

3. Определяем размеры прямоугольного сечения балки:

4. Проверяем прочность сечения по касательным напряжениям, учитывая, что для сплошного прямоугольного сечения в ней­тральном слое на нейтральной оси, которая проходит через центр тяжести С сечения. Для определения проводим через точку С секущую плоскость параллельно нейтральной оси и вычисляем ста­тический момент отсеченной части (любой - верхней или нижней):

Поскольку 0,22 МПа < МПа, прочность балки по касатель­ным напряжениям обеспечена.

Из условия прочности балки по нормальным напряжениям име­ем: . Для круглого сечения балки Сле­довательно,

Принимаем по ГОСТ 6636-69 d = 340 мм.

Пример 5.2. Для заданной стальной балки (рис. 5.5) подобрать сечение из двух рядом стоящих швеллеров, если МПа. Опреде­лить прогиб посередине балки и угол поворота на правом конце.

Рис. 5.5. К примеру 5.2

Решение.

Определяем опорные реакции:

Проверим правильность определения реакций опор:

Подсчитываем ординаты эпюры Q:

Подсчитываем ординаты эпюры М:

Поскольку

Из условия прочности по нормальным напряжениям

определяем:

Так как сечение состоит из двух рядом стоящих швеллеров, то и требуемый момент сопротивления одного швеллера

Принимаем по ГОСТ 8240-97 два швеллера № 40У размером .

В опасном сечении напряжение

Перегрузка что допустимо; прочность балки обеспечена.

Определяем прогиб сечения D и угол поворота сечения К, исполь­зуя уравнения начальных параметров (5.6), (5.7).

Выбираем начало координат в точке О – крайней левой точке балки. Определяем прогиб посередине пролета при z = 3 м (точка D):

Находим начальные параметры из условия закрепления концов балки. При z = 0 при z = 6 м . Сле­довательно:

Прогиб сечения D

Знак минус показывает, что балка прогибается вниз.

Находим угол поворота сечения К при z = 7 м:

Пример 5.3. Схема нагружения балки показана на рис. 5.6, сечение балки изображено на рис. 5.7. Материал балки – Ст. 3, . Коэффициент запаса n _т = 2, нагрузка q = 50 кН/м, длина l = 40 см.

Требуется:

1. Построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента;

2. Из расчета на прочность подобрать размеры поперечного сечения;

3. Начертить сечение в масштабе и построить эпюру нормальных напряжений в опасном сечении.

Рис. 5.6. Схема нагружения балки к примеру 5.3

Решение.

1. Определение реакций опор R₁ и R₂

Реакцию R₁ определяем из уравнения равновесия моментов всех сил, действующих на балку, относительно опоры В.

- R₁∙5l-ql²+ql∙4l-ql∙3l+(3q∙l) ∙3,5l-ql∙l-(ql) ∙0,5l=0

Откуда получаем

Реакцию R₂ находим из уравнения равновесия моментов относительно опоры А.

Откуда

2. Построение эпюр поперечной силы Q и изгибающего момента М.

Рассматривая последовательно равновесие частей балки, отсеченных сечениями I, II, III и IV, составляем аналитические выражения для Q и М.

Так, например, левая часть бруса, отсеченная сечением I, находится в равновесии под действием внешних нагрузок, а также поперечной силы Q и момента M (рис. 5.8, г).

Заметим, что стрелки, изображающие Q и М, приложенные к левой отсеченной части, должны направляться так, как показано на рис. 5.8, г, д; Q и М, приложенные к правой отсеченной части, должны направляться так, как показано на рис. 5.8, е, ж.

Итак, условие равновесия проекции на вертикаль сил, действующих на часть балки, отсеченную сечением I, запишем в виде

или (5.9)

Условие равновесия моментов сил, действующих на отсеченную часть балки, относительно точки С можно записать в виде

или (5.10)

Формулы (5.9) и (5.10) аналитически описывают зависимость Q и М от координаты сечения . Графики, изображающие эти зависимости, показаны на рис. 5.8, б, в.

Необходимо уточнить, что формулы (5.2) и (5.3) справедливы только в первом участке, т.е. только для сечений, расположенных между силой и сосредоточенным моментом.

Далее рассматриваем равновесие левой части балки, отсеченной сечением II (рис. 5.8, д). Условие равновесия вертикальных проекций сил

Отсюда получаем формулу для Q:

(5.11)

Условие равновесия моментов сил относительно точки С

или (5.12)

Согласно выражению (5.11) поперечная сила Q на втором участке изменяется линейно, причем на левом конце участка при , а на правом конце участка, при . В соответствии с выражением (5.12) изгибающий момент на втором участке изменяется по параболе. При этом в сечении с координатой поперечная сила и изгибающий момент М достигает максимума.

Подставляя в формулу (5.12) координаты и левого и правого концов участка, получим значения изгибающего момента, соответственно и . Максимальный изгибающий момент вычисляем по формуле (5.12) при :

Рис. 5.8. Построение эпюр Q и M

Аналогично выводят формулы для Q и М в сечении III.

Из условий равновесия части балки, показанной на рис. 5.8, получим выражение для Q и М на третьем участке:

(5.13)

(5.14) Согласно рис. 5.8, ж в сечении IV получим

(5.15)

(5.16)

По формулам (5.13) – (5.16) достраиваем эпюры Q и М на третьем и четвертом участках (рис. 5.8, б, в). По эпюре М находим, что наибольший изгибающий момент в балке равен .

3. Вычисление момента сопротивления изгибу.

Определим положение главной центральной оси х. Статический момент сечения относительно оси х₁:

Площадь сечения

Координата центра тяжести

Момент инерции сечения

Точки сечения, наиболее удаленные от главной центральной оси х, располагаются вблизи верхней кромки сечения. Расстояние от оси х до этих точек равно

Тогда момент сопротивления изгибу получим

4. Вычисление размеров поперечного сечения, необходимых по условию прочности.

Наибольшее напряжение, возникающее в балке, равно

При заданном коэффициенте запаса n _т допустимое напряжение определяется выражением

Заданный коэффициент запаса n _т будет обеспечен, если наибольшее напряжение в балке не превышает допустимого, т.е.

или

Отсюда получим

или а = 15 мм.

При этом

и коэффициент запаса оказывается несколько ниже заданного:

Выбранное сечение в масштабе 1:1 и эпюра нормальных напряжений показаны на рис. 5.10.

Рис. 5.9. К вычислению момента сопротивления изгибу	Рис. 5.10. Сечение балки, необходимое по условию прочности

При помощи эпюры моментов можно приближенно определить форму изогнутой оси балки. Для этого достаточно вспомнить, что на участках с положительным моментом кривая, изображающая ось, вогнута, а на участках с отрицательным моментом – выпукла. Для рассматриваемой балки изогнутая ось пройдет приблизительно так, как показано на рис. 5.8.

5. Вычисление перемещении точки K.

Иногда бывает необходимо знать перемещение некоторых точек балки при действии нагрузок. В случае если балка имеет постоянное поперечное сечение и нагружена сосредоточенными силами и моментами и равномерно распределенными нагрузками интенсивностью q, перемещения можно вычислить при помощи универсального уравнения упругой линии.

Для рассматриваемой балки (рис. 5.11) уравнение упругой линии имеет вид

Рис. 5.11. К выводу уравнения упругой линии

Условия закрепления балки (рис. 5.8):

1. При

2. При

Из первого условия следует из второго условия получим

Тогда уравнение упругой линии запишется в виде

При помощи этого уравнения можно вычислить перемещение любой точки балки. Найдем перемещение точки К, расположенной на втором участке:

Учитывая, что , получим

Подставим в эту формулу численные значения q, l, a и получим

Выводы:

1. Максимальный изгибающий момент возникает на участке, где приложена нагрузка 3q, и равен .

2. Для того чтобы при заданных нагрузках коэффициент запаса для рассматриваемой балки был приблизительно равен 2, сечение должно иметь размеры, показанные на рис. 5.10. При этом .

Пример 5.4. Рама изготовлена из стальной трубы и имеет конфигурацию, показанную на рис. 5.12. Рама нагружена двумя сосредоточенными силами, равными Р. Наружный диаметр трубы D = 20 мм, внутренний диаметр d = 0,8 D = 16 мм. Материал трубы – сталь 40, . Коэффициент запаса размер l = 50 мм.

1. Построить эпюру изгибающих моментов М;

2. Из расчета на прочность найти допустимую величину сил Р.

Решение.

1. Определение опорных реакций.

Реакция R₁ определяется из уравнения равновесия проекций на вертикаль всех сил, действующих на раму:

Реакция R₂ находится из уравнения равновесия моментов сил относительно точки А:

откуда

Реакция R₃ определяется из уравнения равновесия проекций на горизонталь сил, действующих на раму:

откуда

2. Построение эпюры изгибающих моментов.

Аналитические выражения для изгибающих моментов можно получить, рассматривая последовательно равновесие частей рамы, отсеченных сечениями I, II, II, IV и V (рис. 5.12).

Например, условие равновесия нижней части рамы, отсеченной сечением II (рис. 5.12, в), имеет вид

Рис. 5.12. К построению эпюры изгибающих моментов

При построении эпюр изгибающих моментов условились положительные ординаты откладывать с той стороны оси бруса, где располагаются сжатые волокна. В случае, показанном на рис. 5.12, в, момент М сжимает волокна, расположенные слева от оси бруса, поэтому положительные значения должны также откладываться слева. Согласно формуле (5.10), при момент М отрицателен и ординаты на эпюре на вертикальной стойке должны откладываться справа.

Изгибающий момент в сечении V можно получить, рассматривая равновесие правой отсеченной части рамы (рис. 5.12, г):

откуда получим

Аналогичным образом выводятся формулы для изгибающих моментов в остальных сечениях. Полная эпюра изгибающих моментов изображена на рис. 9, б. По этой эпюре легко установить, что наибольший изгибающий момент возникает в сечении А (рис. 5.12, б, в):

3. Определение допустимой силы.

Наибольшее напряжение в конструкции

Для того, чтобы обеспечивался необходимый коэффициент запаса, должно соблюдаться условие прочности

В рассматриваемой задаче получим

Из последнего условия получим допустимую силу

Выводы:

1. Наиболее напряженным сечением рамы является верхнее сечение А длинной вертикальной стойки.

2. При силах Р, не превышающих 33,6 Н, коэффициент запаса по пределу текучести для рамы не мене 1,5.

3. Так как наибольшие изгибающие моменты в короткой вертикальной стойке на 33%, а в верхней поперечине на 17% меньше чем , то для этих деталей рамы допустимо применение более дешевых материалов с худшими прочностными характеристиками. Коэффициент запаса не уменьшится, если верхнюю поперечину рамы изготовить из материала с пределом текучести , для которой вертикальной стойки допустим материал с

ВАРИАНТЫ ЗАДАЧИ «D»

Поиск по сайту: