Вопрос 22. Непрерывность функции в точке. Примеры непрерывных точек

Определение 1: f(x) непрерывна в точке тогда и только тогда, когда

1) f(x) определена в окрестности U (x₀)

2) Ǝ конечный

3) (*)

Замечание: (*) можно записать так

То есть для непрерывной функции можно переставить знак функции и знак предела.

Определения 1, 2 эквивалентны.

Доказательство очевидно.

Определение 2: (----//----)

Пример 1: f(x)=const – непрерывна в , так как

Пример 2: f(x)=x - ----//----, так как

Пример 3: f(x)=sin x - непрерывна в

Лемма Для

Доказательство непрерывности sin x в произвольной точке х₀:

23. Точки разрыва функции и их классификация.

f(x) определена в некоторой (а)

Определение: Точка а – точка разрыва функции f

1)либо f(x) не определена в т. а

2)либо f(x) определена в т. а, но т. а не является ее точкой непрерывности.

Замечание: Точка а является точкой разрыва функции f, если НЕ выполняется хотя бы одно из следующих условий: 1) а D(f); 2) конечный lim f(x)=A; 3)A=f(a).

Определение: Пусть: 1) а – точка разрыва функции f(x).

2) конечные односторонние пределы функции f в т. a: = f(a-0) R и

=f(a+0) R

Тогда т. а называется точкой разрыва ПЕРВОГО РОДА.

Замечания:

1)Для точки (х=а),разрыва первого рода функции f(x), разность f(a+0)-f(a-0) называют скачком функции в точке а.

2)В случае нулевого скачка, т.е. когда f(a+0)=f(a-0), точку а (разрыва первого рода) называют точкой центрального разрыва,

Полагая (x)=

Получим функцию непрерывную в точке а и совпадающую с f(x) при x a. В этом случае говорят, что функция f(x) доопределена по непрерывности в точке а.

Определение: Пусть:1) a - точка разрыва функции f(x);

2) a не является точкой разрыва первого рода.

Тогда точка а называется точкой разрыва ВТОРОГО РОДА.

Замечание: В точке разрыва хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или

Пример 1

а) sgn х имеет в т. х=0 разрыв 1^го рода: – скачок в точке 0

б) Isgn xI имеет в точке x=0 устранимый разрыв: преодолив ее в т. х=0 единицей, получим непрерывную на R функцию.

Пример 2. а) имеет в т. х=0 разрыв 2^го рода

б) имеет в точках - разрывы 2^го рода.

Пример 3. а) имеет в т. х=0 разрыв 2^го рода, т.к.

б ) функция Дирихле f(x)=

любая точка является точкой разрыва 2^го рода, т.к. односторонние пределы

Поиск по сайту: