|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
ТЕОРЕМА БОЛЬЦАНЕ-ВЕЙЕРШТРАССА О СУЩСТВОВАНИИ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТОЧКИ В ОГРАНИЧЕННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИВопрос: Всегда ли ограниченная последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность? Ответ: Да! Теорема: Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Доказательство: 1) ({xn} -ограниченная) отрезок [a; b], содержащий {xn}; 2) Строим систему стягивающихся отрезков, обладающую свойством: элемент n (система отрезков) = [an, bn] содержит бесконечное число членов {xn}. 1o. [a; b]=∆о Разбиваем [a;b] пополам и в качестве ∆1 берём любую половину, содержащую бесконечное число членов {xn}; 2o. ∆1 делим пополам и в качестве ∆2 берём любую половину, содержащую бесконечное число членов {xn};И далее аналогично… 3o. На n-м шаге получаем отрезок ∆n=[an;bn]= →0 (n→0) – длина отрезка. |∆1| = Очевидно, что система ∆n обладает характерным свойством Это система стягивающихся отрезков. ∆n (по лемме Кантора) = с [a;b]. 3) Строим {yk} →c (n →∞) 1o. y1 = xn1 ∆1; 2o. y2 = xn2 ∆2 и n2>n1; И т.д. 0≤|yk-c|≤|bk-ak|→0 (k→∞). По правилу «двух милиционеров» |yk-c|→0. Ч.Т.Д.
Для неограниченной последовательности {xn} – аналогичный результат имеет вид: Теорема: Из неограниченной последовательности {xn} можно выделить бесконечно большую {yk}. Доказательство: 1) n1 N: |xn1|>1 y1=xn1 2) n2 n1: |xn2|>2 y2=xn2 3) n3 > n2: |xn3|>3 y3=xn3 И т.д. 4) {yk} – бесконечно большая подпоследовательность. Следствие из двух теорем: Из любой последовательности можно выделить либо сходящуюся, либо бесконечно большую подпоследовательность. 15. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности. Опр. Последовательность { } – фундаментальная (или последовательность Коши), если для любого ε>0 существует N=N(ε) такой, что для любого m,n>N => | - <ε. Лемма. Фундаментальная последовательность ограничена. Доказательство. Пусть ε=1, тогда существует N=N(ε) такой, что для любого m,n>N è | - |≤1. | |≤1 для любого m≥N. Можно записать, что | |=|( - )+ )| ≤ | - |)| + | ≤1 + | | (подставили |≤1). | } |≤max{| |,…,| |,| +1|}. Следовательно, последовательность { } -ограничена. Теорема доказана. До сих пор для установления сходность последовательности, необходимо было знать её предел.Критерий Коши позволяет установить сходность последовательности только по её членам. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.) |