АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

ТЕОРЕМА БОЛЬЦАНЕ-ВЕЙЕРШТРАССА О СУЩСТВОВАНИИ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТОЧКИ В ОГРАНИЧЕННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Читайте также:
  1. III. Оборот переменного капитала с общественной точки зрения
  2. Билет №18. Рассеивание ЗВ в атм воздухе. Осн факторы, влияющие на рассеивание. Понятия См, Хм, um. Изм концентрации.осн реперные точки.
  3. Взгляд с практической точки зрения
  4. Вибір цілі та точки прицілювання.
  5. Визначення точки беззбитковості
  6. Вироблення навичок юридичної кваліфікації нестандартних з точки зору права ситуацій.
  7. Воздействие на БИОЛОГИЧЕСКИ АКТИВНЫЕ ТОЧКИ
  8. Вопрос №2. Основные числовые множества. Некоторые свойства действительных чисел. Геометрическая интерпретация действ чисел. Окрестность точки.
  9. Глава 10. ТЕОРИЯ ПРОИЗВОДСТВА И ПРЕДЕЛЬНОЙ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ ФАКТОРОВ
  10. Д) монополия производит меньше, чем необходимо, с точки зрения общества.
  11. Дайте юридический анализ вышеназванных правовых актов с точки зрения: а) формы: б) компетенции; в) порядка издания.
  12. Движение материальной точки под действием центральной силы. Закон площадей.

Вопрос:

Всегда ли ограниченная последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность?

Ответ:

Да!

Теорема:

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство:

1) ({xn} -ограниченная) отрезок [a; b], содержащий {xn};

2) Строим систему стягивающихся отрезков, обладающую свойством:

элемент n (система отрезков) = [an, bn] содержит бесконечное число членов {xn}.

1o. [a; b]=∆о

Разбиваем [a;b] пополам и в качестве ∆1 берём любую половину, содержащую бесконечное число членов {xn};

2o. ∆1 делим пополам и в качестве ∆2 берём любую половину, содержащую бесконечное число членов {xn};И далее аналогично…

3o. На n-м шаге получаем отрезок

∆n=[an;bn]= →0 (n→0) – длина отрезка. |∆1| =

Очевидно, что система ∆n обладает характерным свойством Это система стягивающихся отрезков. ∆n (по лемме Кантора) = с [a;b].

3) Строим {yk} →c (n →∞)

1o. y1 = xn1 ∆1;

2o. y2 = xn2 ∆2 и n2>n1;

И т.д.

0≤|yk-c|≤|bk-ak|→0 (k→∞). По правилу «двух милиционеров» |yk-c|→0. Ч.Т.Д.

 

Для неограниченной последовательности {xn} – аналогичный результат имеет вид:

Теорема:

Из неограниченной последовательности {xn} можно выделить бесконечно большую {yk}.

Доказательство:

1) n1 N: |xn1|>1 y1=xn1

2) n2 n1: |xn2|>2 y2=xn2

3) n3 > n2: |xn3|>3 y3=xn3

И т.д.

4) {yk} – бесконечно большая подпоследовательность.

Следствие из двух теорем:

Из любой последовательности можно выделить либо сходящуюся, либо бесконечно большую подпоследовательность.

15. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности.

Опр. Последовательность { } – фундаментальная (или последовательность Коши), если для любого ε>0 существует N=N(ε) такой, что для любого m,n>N => | - <ε.

Лемма. Фундаментальная последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть ε=1, тогда существует N=N(ε) такой, что для любого m,n>N è | - |≤1. | |≤1 для любого m≥N. Можно записать, что | |=|( - )+ )| ≤ | - |)| + | ≤1 + | | (подставили |≤1).

| } |≤max{| |,…,| |,| +1|}. Следовательно, последовательность { } -ограничена. Теорема доказана.

До сих пор для установления сходность последовательности, необходимо было знать её предел.Критерий Коши позволяет установить сходность последовательности только по её членам.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.97 сек.)