Первая теорема Вейерштрасса

Если f(x) непрерывна на [a;b], то она ограничена на отрезке [a;b] то есть существует M>0 такое что для любого следует что

Доказательство.

Предположим, что f(x) неограниченна на [a;b] следовательно

1)

2)

следовательно {x_n} бесконечно большая последовательность

{x_n} ограничена так как принадлежит [a;b] следовательно по теореме Больцано-
Вейерштрасса _nk}->c

f(x_nk) бесконечно большая последовательность

f(x) непрерывна в точке c , но где

Противоречие.

Замечания.

Первая теорема Вейерштрасса неверна для промежутков, не являющихся отрезками.

Пример.

f(x)=1/x непрерывна на (0;1) но неограниченна на (0;1)

f(x)=x² непрерывна на R но неограниченна на R

9.5.Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Определение.

f(x)- называется непрерывной на отрезке [a;b], если:

1) f(x) непрерывна в любой точке y

2) f(x) непрерывна справа в точке a

3) f(x) непрерывна слева в точке b

f(a+0)=f(a)

f(b-0)=f(b)

Вторая теорема Вейерштрасса.

Если f(x) непрерывна на [a;b] то она достигает на нем своих точных верхних и нижних граней, то есть и принадлежащие [a;b] такие что f(x^*)=sup(f(x)) и f(x^**)=inf(f(x))

Доказательство.

По первой теореме Вейерштрасса существует k>0 такое что k для любого x принадлежащего [a;b] то есть для любого n принадлежащего N существует x_n принадлежащая [a;b] такая что M-1/n<f(x_n) M (1)

x_n ограничена следовательно по теореме Больцано-Вейерштрасса существует сходящаяся последовательность x_nk

f(x) непрерывна в точке c

переходя к неравенству (1) мы получаем, что

M= )=

то есть f(c)=M

ч.т.д.

Замечания.

1)Значение функции в точках x^* и x^** оказываются соответственно наибольшим и наименьшим значением функции f(x) на [a;b]

f(x^**)≤f(x)≤f(x^*)

2)Вторая теорема Вейерштрасса неверна для интервалов. Функция, непрерывная на (a;b) может не достигать на нем своих точных граней.

f(x)=x на (0;1) не достигает своей точной верхней грани 1 и точной нижней грани 0

БИЛЕТ 26. Теорема о нуле непрерывной функции. Теорема Коши о промежуточном значении.

Определение: непрерывна на , если непрерывна в точке ,

непрерывна на , если непрерывна в точке , и

Существует , .

Теорема: Пусть определена на и , причем . Тогда

.

Пусть , . Используем метод деления отрезка пополам.

Обозначим: , .

Определим

1) =0 .

2) < 0 , .

3) > 0 , и так далее.

. .

По лемме о вложенных отрезках: , то есть .

непрерывна в точке

.

.

0 ()

.

.

0 ()

Следствие (т. о промежуточном значении непрерывной функции):

Пусть определена на и , , ,

Тогда : .

Пусть для ограничения .

Рассмотрим произвольн. :

непрерывна на .

Из этих двух утверждений следует:

, то есть .

БИЛЕТ 30. Существование и непрерывность функции, обратной для непрерывной и строго монотонной функции.

Определение.

Пусть функция определена f_i X Y, где X = D (f) и Y= E (f) тогда

1) f обратимая, если

2) Пусть f - обратимая, тогда g(y): Y X определяется по следующему правилу: она ставит в соответствие , такой что = называется обратной функцией для функции и обозначается

Замечание.

График функции и обратной для нее совпадают, только аргумент обратной функции рассматривается на оси Oy. Но если, следуя нашим привычкам, аргумент обозначать буквой х и откладывать его на оси ординат (то есть вместо уравнения писать ) то графики функции (формула) и обратной ей функции (формула) окажутся симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов (прмер )

Лемма 1.

Пусть

Тогда: 1) в каждой точке конечные пределы

2)в концевых точках существуют конечные пределы 3)

Доказательство.

Не теряя общности будем считать, что

1) Для существует левый предел в точке . Фиксируем произвольный Из условия монотонности (возрастания) следует, что для множество значений f на ограничена сверху числом

·

· Для

Положим, . Так как f- неубывающая, то (с учетом (•))

2)Аналогично – существование конечного правого предела.

Сдедствие.

Если определена и монотонна на , то она может иметь на лишь точки разрыва первого вида.

Доказательство

Очевидно.

Лемма 2.

Монотонная функция непрерывна на [a;b] => E(f) = [ f (a); f (b) ] (или [ f (b); f( a) ])

Доказательство.

Не теряя общности, чситаем, что f - неубывающая на [a;b].

Из монотонности f . Для по теореме Коши о промежуточных значениях непрерывной функции f

Докажем непрерывность f(x) от противного.

Пусть

Пусть

(1)

Теоремма.

Пусть 1)

2)

Тогда 1) на отрезке 2)g(y)???

Доказательство.

1) Соглано определению обратной функции

Уравнение f(x) имеет единственное решение

2) Строгое возрастание монотонной функции (от противного). Предположим, что

3) Непрерывная обратная функция E(y) = [a,b],

ВОПРОС №31

Поиск по сайту: