 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Теорема (Критерий Коши)
Для того, чтобы последовательность { 
} была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Доказательство.(необходимость). Пусть { }àa. Зафиксируем ε>0= ε/2. è существует N=N(ε): для любого n>N è | - a| < ε/2. Пусть n,m>N è | - 
|=|( -a)-( 
-a)| ≤ | -a|+| -a|< ε/2+ ε/2= ε. Теорема доказана.
16. Числовые функции и их графики. Способы задания функции.
Опр. Пусть X⊂ R. Числовой функцией, определенной(заданной) на X называется закон, по которому числу ставиться в соответствие строго одно число y 
R. Пишут: y=f(x), где x – независимая переменная, а y- зависимая переменная.
Опр. X=D(f)(или D с индексом f) - Область определения функции. Число x R – значение аргумента. Число y, соответствует x ( 
=F( 
)) называется значением функции в точке (частное значение функции F) f( )=f(X)|X=.
Опр. Совокупность всех частных значений функции, которая она принимает, если x пробегает все D(f) называется областью(множеством) значения и обозначается E(f)=E(y).
Опр. Графиком функции f(x), где x 
в прямоугольной декартовой системе координат XOY называется множество всех точек M(x,f(x)), абсциссы которых принадлежат 
, а ординаты вычисляются по фомуле y=f(x).
Примеры графиков:
Способы задания функции:
1) аналитический - с помощью формулы.
| x | |||
| y |
Примеры: y=3-x D(y)=R=x; E(y)=R=y;
2) табличнй y=3-x
3) графический
Предел функции в точке. Эквивалентность двух определений. Примеры.
Определение по Гейне.
Число А называется пределом функции f(x) при х стремящемся к а 
Если:
1) F(x) определен в 
(а);
2) 
Определение по Коши.
Число А …:
1) … 
(a);
2) 
Замечание: для обобщения понятия предела функции полезно опр по Коги сформулировать в терминах окрестностей:
Или 
)
Теорема.
Опред 1. И 2 пределов функции в точке эквивалентны.
Доказательство:
Считается, что функция определена в дельта 0 окрестность.
В определениях 1 и 2 предела f предполагается, что f определена в некоторой проколотой окрестности точки а. Далее предполагается, что дельта удовлетворяет условию 
1) (К=>Г) Пусть число А есть предел функции в точке а по Коши. Это означает, что для 
, такое, что для всех х удовл. условии. 0<|x-a|< 
2) Выполняется неравенство |f(x)-A|< 
Докажем, что в этом случае существует предел функции f(x) в т. А по Гейне, который равен А. Для этого рассмотрим произвольную последовательность 
целиком лежащую в 
.
Согласно определению сход-ся посл. Существует номер N=N(
такое, что 
, тем самым мы доказали, что число А является пределом в точке а по Гейне.
2)(Г=>К) от противного
Пусть А-предел f(x) в точке а по Гейне и предположим, что А не является пределом f(x) в точке а по Коши. Это означает, что существует 
такой, что 0<|x-a|< (3)
Но |f(x)-A|> (4)
Рассмотрим послед. Чисел = 1/n, n принадлежит N и соотв. Ей послед. Точек x*x(1/n), n принадлежит N. В силу (3-4) для любого n принадлежащего N выполняются условия:
0<|x-a|< 
|f(x)_A| 
Полученное противоречие завершает доказательство теоремы. Ч и т.д.
Следствие: Если существует, то он единственный
Док-во: Согласго опр. 1 этот предел равен пределу посл-ти, а предел посл-ти – единственный
Пример 1.
Докажем, что 
=2-3x
Поиск по сайту: