 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Применения теоремы об изменении импульса: сила реакции истекающей струи, истечение через насадок Борда, теорема Борда для течения во внезапном расширении трубы
Наблюдения показывают, что при выходе струи из узкой части трубы образуется отрыв потока от стенок и пространство между струей и стенками заполняется вихрями.
Теорема Борда: потери напора при внезапном расширении потока в трубе равны скоростному напору, образованному на дефекте скорости. 
; 
если учесть равнение неразрывности S1v1=S2v2, то получим так называемую формулу Борда
, Из уравнения равновесия жидкости имеем: 
, т.е. 
Вертикальная проекция единичной массовой силы 
=Z=g.Следовательно, 
.
V носит название объема тела давления. Таким образом, вертикальная составляющая равна весу жидкости, заключенному в объеме тела давления. Для нахождения этого объема следует использовать формальное правило: тело давления - это объем, образованный криволинейной стенкой, ее проекцией на свободную поверхность (либо на продолжение свободной поверхности) и вертикальными проецирующими поверхностями. На рисунке показаны примеры определения тел давлений для двух случаев, когда жидкость находится справа и слева от боковой стенки соответственно. Как следует из рисунка, тело давления может быть как положительным, так и отрицательным (фиктивным), что определяет направление действия силы давления (вниз или вверх соответственно).
Если это условие не соблюдается и параметры в точке меняются с течением времени:
движение называютнеустановившимся(нестационарным).
| В этих формулировках речь идет о параметрах в определенной точке. Чтобы уяснить это, рассмотрим канал, показанный на рисунке. В гидромеханике такие каналы, в которых площадь сечения уменьшается по ходу потока, называют конфузорами. |
Исходя из чисто интуитивных представлений ясно, что скорость течения по ходу канала будет возрастать. Возникает вопрос, может ли быть установившемся движение в таком канале? Очевидно, может, если параметры в точках A и B не будут изменяться с течением времени. Определение вида движения не требует, чтобы параметры в точках А, В и С были одинаковы.
Линией тока называется кривая, обладающая тем свойством, что в данный момент времени векторы скоростей в любой ее точке совпадают по направлению с касательными.
В векторной форме это условие может быть записано как, 
т.е. векторное произведение должно быть равно нулю. Это, как известно, может быть записано в виде определитель.
Раскрывая определитель, получаем дифференциальное уравнение линии тока в виде.
Под траекторией понимается след, оставленный движущейся частицей в пространстве. Дифференциальное уравнение траектории можно записать, как:
Из сопоставления уравнений линий тока и траекторий следует, что в общем случае, т.е. при неустановившемся движении линии тока и траектории не совпадают.
| В движущейся жидкости наметим бесконечно малый замкнутый контур, и через все точки его периметра проведем линии тока. |
Образованная таким образом поверхность носит название элементарной трубки либо поверхности тока. Ясно также, что поскольку контур намечался в пространстве, занятом движущейся жидкостью, то какая-то часть ее должна находиться и внутри поверхности тока.
.
Поэтому рассмотрим лишь правую часть. Имеем: 
С другой стороны, очевидно, что
; 
; 
,
И мы можем записать: 
Таким образом, после подстановки в исходное уравнение получим: 
либо
Это выражение называют уравнением Бернулли в дифференциальной форме. При условии 
(для несжимаемой жидкости) интегрирование его дает 
Очевидно, для обеспечения математической строгости следовало бы доказать, что вдоль линии тока проекции вектора скорости могут быть представлены не как частные, а как полные производные от соответствующих координат частицы. Но при этом вывод уравнения Бернулли утратил бы свою простоту.
Энергетический смысл уравнения Бернулли
Прежде чем приступить к анализу физического содержания полученного соотношения, следует вспомнить одно важное обстоятельство. При введении понятия об элементарной струйке тока было показано что одним из ее свойств 13. является равномерное распределение скоростей в пределах любого ее поперечного сечения. Поэтому уравнение можно назвать уравнением Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости. Для двух произвольных поперечных сечений струйки можно записать 
Выясним физический смысл величин, входящих в уравнение Бернулли. Любое правильное физическое соотношение размерностно однородно, т.е. все его члены имеют одинаковую размерность, поэтому достаточно рассмотреть один из его членов. Наиболее удобно обратиться к третьему - (
). Эта величина выражается в м2/с2. Умножим и разделим числитель и знаменатель на кг, что дает: 
Из чего следует, что каждый член уравнения выражает энергию, отнесенную к единице массы, т.е. удельную энергию. Это позволяет придать уравнению Бернулли энергетический смысл. Первые два члена выражают удельную потенциальную энергию (положения - gz и давления - 
), а третий - удельную кинетическую энергию. Следовательно, полная удельная энергия в любом сечении струйки остается неизменной. Другими словами, уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии в ее простейшей форме - форме сохранения механической энергии.
Уравнение Бернулли в геометрической форме.
В практических приложениях широко используется другая форма уравнения Бернулли – геометрическая форма. Разделив обе части уравнения Бернулли в энергетической форме на ускорение свободного падения g, получаем 
Каждый член полученного уравнения имеет размерность длины и выражает напор, под которым в общем случае понимают высоту столба жидкости, уравновешивающую давление в данной точке. Таким образом, z - геометрический напор, характеризующий положение жидкой частицы над какой-то произвольной плоскостью, называемой плоскостью отсчета; 
- пьезометрический напор - высота столба жидкости, уравновешивающая давление в данной точке; 
- скоростной напор, представляющий собой высоту столба жидкости в так называемой трубке полного напора. Принцип действия этого устройства легко уясняется из рисунка.
Сумма двух первых членов носит название гидростатического напора, а всех трех - полного либо гидродинамического напора. Таким образом, уравнению Бернулли придается геометрическое толкование, которое сводится к следующему. Сумма трех высот: геометрической (z), пьезометрической () и скоростной () есть величина постоянная вдоль струйки. Таким образом, полный или гидродинамический напор при движении вдоль струйки идеальной жидкости остается неизменным. Сказанное иллюстрируется нижеследующим рисунком, который иногда называют диаграммой уравнения Бернулли.
На этом рисунке N-N - напорная линия; O-O - плоскость (линия) отсчета; P-P - пьезометрическая линия, лежащая ниже напорной на величину скоростного напора в данном сечении.
Представляет собой Г-образную трубку. Установившееся в трубке избыточное давление приближённо равно:
где 
— плотность движущейся (набегающей) среды; V0— скорость набегающего потока; 
— коэффициент.
Напорная (пневмометрическая, или трубка полного напора) трубка Пито подключается к специальным приборам и устройствам. Применяется при определении относительной скорости и объёмного расхода в газоходах и вентиляционных системах в комплекте с дифференциальными манометрами.
Применяется как составная часть трубки Прандтля в авиационных приёмниках воздушного давления для возможности одновременного определения скорости и высоты полёта.
19.Деформационное движение жидкой частицы, тензор скоростей деформаций.
Движение жидкой частицы является более сложным, чем в случае твердого тела, которое, как известно из механики, может складываться из поступательного движения полюса и вращательного движения тела относительно этого полюса. Особенностью частиц жидкости, как уже неоднократно отмечалось, является текучесть, т.е. легкая деформируемость их под действием самых ничтожных сил. Поэтому, помимо поступательного и вращательного, жидкая частица может участвовать также в деформационном движении. Это положение и составляет суть так называемой первой теоремы Гельмгольца.
Рассмотрим жидкую частицу в форме прямоугольного параллелепипеда. Длина его ребер dx, dy, dz. Деформация такой жидкой частицы может быть как линейной (ребра удлиняются и укорачиваются), так и угловой (возникает перекос граней). Удобным представляется рассмотрение каждого из этих видов деформаций раздельно.
31. Применение теоремы о количестве движения к потокам с пульсациями скорости:Турбулентные нормальные и касательные напряжения.
Средняя скорость: 
= 
— в любом режиме движения
U= 
+U’
U’— пульсационная составляющая 
=0, так как изменяется импульс объёма жидкости при ТРД и ЛРД. Количество движения — это m•U. Какая масса проходит за единичную площадь этой площадки: dm=ρUdt — масса жидкости проходящая через единицу площади площадки проходящей перпендикулярно оси Х.
Элементарный импульс: dp=ρU2dt
ρ 2= 
U2dt
U2=( +U’)2= 2+2 U’+U’2
ρ 2= U2dt=ρ 2+ρ ’2
добавка выражается в давлении на любую пов-ть жидкости средняя величина
импульса.
Пульсационная скорость — скорость, которая наложена на среднюю скорость.
ε = 
= 
— среднеквадратичное значение пульсационной скорости. В затопленных струях пульсационная скорость составляет 80%. На стенке пульсации скорости = 0 и εmax= до 15%.
τ' = ρU’ϑ’ — турбулентное касательное трение
τ' – имеет очень высокую величину.
|
| Рассмотрим жидкую частицу в форме прямоугольного параллелепипеда. Длина его ребер dx, dy, dz. |
Деформация такой жидкой частицы может быть как линейной (ребра удлиняются и укорачиваются), так и угловой (возникает перекос граней). Удобным представляется рассмотрение каждого из этих видов деформаций раздельно. Угловые деформации.
Из вышеприведенного рисунка следует, что угловая деформация (перекос граней и углов между ними) может возникнуть из-за разности скоростей, перпендикулярных ребрам. Для упрощения ограничим рассмотрение лишь одной гранью, показанной на следующем рисунке.
Пусть компоненты скорости в точке A равны, 
,, 
. Найдем скорости в точке B, считая, что движение установившееся и, следовательно, все производные по времени равны нулю. Приращение компоненты скорости при переходе из одной точки пространства в другую можно представить как u+du. Так для проекции можем записать 
, где, очевидно, что
(1.1)
Аналогичные выражения можно записать и для других проекций.
Рассмотрим приращение 
при переходе от точки A к точке B. В этом случае 
, т.е. 
15. Предположим, что за время dt из-за разности скоростей в точках A и B ребро займет положение AB'.
Аналогично рассуждая относительно компоненты скорости 
в точках A и D, получим:
Точка A: (по условию)
Точка D: 
В связи с разностью этих скоростей точка D займет позицию D'. Таким образом, получим: 
Путь, который проходит точка B за время dt, попадая в положение B', определяет величину перекоса, которую можно найти как
Угловая деформация характеризуется тангенсом угла 
. При этом 
(имея в виду, что 
).
Вследствие малости угла 
можно считать, что 
.
Аналогично рассуждая, можно получить, что: 
Полный перекос первоначально прямого угла A определится соответственно, как сумма: 
(1.2)
| Здесь следует обратить внимание на одно весьма существенное обстоятельство, а именно: рассматриваемое перемещение ребер вызвано не только деформацией, но и вращением частицы. |
Действительно, если бы грань только деформировалась без вращения, то ребра повернулись бы на одинаковый угол навстречу друг другу. Наоборот, в случае, если бы происходило только вращение, то ребра поворачивались бы на одинаковый угол в направлении вращения. Таким образом, в общем случае движение жидкого элемента можно рассматривать как сумму деформационного и вращательного движений, характеризуемых соответствующей комбинацией 
и. 
Рассмотрим деформацию прямого угла A, считая, что вращение происходит против часовой стрелки. Чисто деформационное движение будем характеризовать углами 
, а чисто вращательное - .
Из рисунка следует, что
и 
т.е 
откуда
(1.3)
Вычитая, получим 
(1.4)
Таким образом, приходим к выводу, что деформация характеризуется полусуммой углов, а вращение – их полуразностью. В соответствии с соотношением (1.2), можно записать: 
(1.5)
Таким образом, получим скорость угловой деформации, происходящей вокруг оси z 
(1.6)
И по аналогии относительно других осей: 
(1.7) 
(1.8)
По определению 
есть угловая скорость вращения жидкой частицы. Проекции угловых скоростей при этом определятся из формул: 
(1.9) 
(1.10) 
(1.11)
15. Вышеприведенные соотношения играют исключительно важную роль в механике жидкости и газа. Они устанавливают связь между угловой и поступательной скоростями деформируемой жидкой частицы. Вопрос о знаках – это вопрос выбора. В гидромеханике обычно поворот против часовой стрелки считается положительным, по часовой - отрицательным.
В векторной форме выражение для угловой скорости может быть записано как:
(1.12)
Заменяя 
, 
, и, 
, их выражениями из (1.9-1.11) получаем: 
(1.13)
Учитывая соотношения векторной алгебры (применительно к вектору скорости жидкой частицы), можем записать: 
(1.14)
либо 
(1.15)
Формула (1.15) раскрывает гидромеханический смысл вихря (ротора) векторного поля скоростей. Если 
характеризует поле мгновенных скоростей, то векторное поле 
представляет собой поле удвоенных угловых скоростей частиц жидкости этого поля.
Линейные деформации.
Очевидно, что линейные деформации жидкой частицы могут возникнуть в результате различия в скоростей в точках, совпадающих с направлением ее ребер. Полагаем, как и ранее, компоненты скорости в точке A равными: , 
,
Вдоль оси x:
Точка A: 
Точка D: 
Разность скоростей, вызывающая удлинение ребра AD: 
. Удлинение частицы 
за время dt 
(1.16)
Относительное удлинение
(1.16)
Скорость относительного удлинения 
(1.17)
Аналогичные выражения можно получить для других осей: 
; 
Если процесс происходит одновременно вдоль всех осей, то это приводит к объемному расширению либо сжатию частицы. Таким образом, объемная деформация сводится к изменению первоначального объема параллелепипеда 
на величину 
за счет растяжения либо сжатия ребер. При этом 
, и с учетом (1.16) 
. К аналогичным выводам можно для изменений по другим осям координат 
и 
. Таким образом: 
Скоростью относительной объемной деформации назовем отношение изменения объема к его первоначальному объему и скорости деформации, т.е. 
15. Если 
, то это означает, что 
, т.е. деформация жидкой частицы происходит без изменения её объема. В этом и заключается гидромеханический смысл равенства нулю дивергенции вектора скорости.
Полученную выше связь между поступательной и вращательной скоростями жидкой частицы можно получить и более коротким путем, представляющим определенный интерес. Разные подходы к одному и тому же вопросу способствуют углубленному пониманию. Поэтому рассмотрим также этот путь.
Пусть жидкая частица вращается вокруг оси z с угловой скоростью 
. Запишем выражение для ротора скорости в проекциях на оси координат. Имеем:
(2.1)
Это означает, что в каждой точке пространства вращение жидких частиц может быть охарактеризовано этим вектором. Его модуль может быть записан как: 
(2.2)
Движение, при котором величина вихря скорости не равна нулю, т.е. 
, называют вихревым. Если же 
, то движение безвихревое (потенциальное).
Кинематические понятия для вихревого движения можно получить по аналогии с общими представлениями кинематики. В основу кинематики вихревого движения положено определение вихревой линии, которое аналогично понятию линии тока. Вихревой называется линия, в каждой точке которой в данный момент времени касательная совпадает с направлением вектора вихря скорости. Другими словами, вихревая линия это мгновенная ось вращения частиц жидкости, которые в данный момент времени расположены на ней. По аналогии с дифференциальным уравнением линии тока можно записать: 
(2.3)
Вихревая трубка аналог трубки (поверхности) тока, т.е. это поверхность, образованная вихревыми линиями, проведенными через все точки бесконечно малого замкнутого контура. Вихревая нить аналог струйки тока и представляет собой жидкий объем, заключенный в вихревой трубке. Если вихревая трубка имеет конечные размеры, то частицы, заполняющие ее и находящиеся во вращательном движении, образуют вихревой шнур.
Интенсивность вихря.
Понятие интенсивности вихря достаточно абстрактно и 16. вводится чисто математически. Напомним, что потоком векторного поля называют интеграл вида
(2.4)
Поскольку вихрь скорости (ротор) есть вектор, то вместо 
можно подставить 
, что и приводит нас к понятию интенсивности вихря, т.е. интенсивность вихря это поток вектора вихря скорости 
(2.5)
Эту формулу можно переписать, используя очевидное соотношение 
, как: 
(2.6)
Имея в виду, что 
, можем записать 
(2.7)
Используя формулу Гаусса-Остроградского и переходя от интеграла по поверхности к интегралу по объему, получим: 
.
Заметим, что полученное подинтегральное выражение по структуре напоминает обычное уравнение неразрывности для стационарного течения жидкости с постоянной плотностью. Раскроем это выражение, имея в виду, что проекции вектора вихря (по правилам векторного произведения) представляются, как:
; 
; 
.
Получим:
Следовательно, можно записать: 
(2.8)
Применим (2.8) к вихревому шнуру (см. рисунок). На боковой поверхности 
, так как вектор 
направлен по касательной к поверхности. Поэтому можем записать
;
.
Если допустить, что в пределах сечения 
, то
(2.9)
Либо в общем случае 
(2.10)
т.е. это своеобразное «уравнение неразрывности» в интегральной форме для завихренности. Полученный результат носит название теоремы Гельмгольца о вихрях (второй теоремы Гельмгольца), которую можно сформулировать следующим образом: интенсивность вихревого шнура на всей его протяженности остается постоянной. Из выражения (2.10) следует и другой весьма важный вывод. Поскольку произведение 
остается неизменным, то уменьшение площади сечения шнура должно приводить к увеличению угловой скорости вращения частиц. При 
это условие означает, что 
, что физически невозможно. Следовательно, вихрь не может зарождаться либо оканчиваться в толще жидкости. Окончательно развившись, он должен замкнуться либо на твердую поверхность, либо сам на себя, т.е. образовать вихревое кольцо. В этом свойстве также существует аналогия с поведением трубки тока.
Понятие об интенсивности вихря является весьма важным, но, к сожалению, непосредственное определение этой величины экспериментальным путем связано с непреодолимыми трудностями. Кроме того, если пытаться распространить это понятие на вихри конечных размеров, то по аналогии со средней скоростью пришлось бы вводить понятие о средней угловой скорости, 16. что связано с определенными трудностями чисто математического характера. Поэтому гидромеханики избрали другой путь, заменив это понятие другим, более удобным для целей практики.
Циркуляция скорости.
Для введения понятия о циркуляции скорости воспользуемся методикой, предложеннойН.Я.Фабрикантом. Несомненным ее преимуществом является то, что она позволяет ввести понятие циркуляции не формально математически, а исходя из достаточно простых и ясных физических предпосылок.
Рассмотрим крыловой профиль, находящийся в равномерном потоке воздуха. Как известно, на профиль в этом случае будет действовать подъемная сила (см. рисунок). Физически наличие этой силы можно объяснить лишь тем, что давление под профилем 
больше, а давление над профилем меньше, чем давление на некотором удалении от него (давление невозмущенного потока), которое мы обозначим . Это позволяет утверждать, что под крыловым профилем скорость 
, а над ним . В данном случае - скорость невозмущенного потока.Вычтем теперь из скоростей и скорость , т.е. получим разности
и . Это действие приводит нас к понятию возмущенного потока, т.е. движения, которое возникает в среде из-за того, что в нее внесено инородное тело. По существу, это реакция потока, обусловленная в данном случае тем, что в ней появился крыловой профиль. Установим теперь направление потоков возмущения. Под профилем , и он направлен против скорости , над профилем, соответственно, - наоборот. В результате появляется циркуляционный поток, направленный по часовой стрелке, как это показано на рисунке. Чтобы характеризовать этот поток количественно вводится понятие циркуляции скорости по замкнутому контуру.
Рассмотрим замкнутый контур C, показанный на следующем рисунке. Пусть в произвольной точке M скорость равна 
. Составим скалярное произведение 
, где 
- направленный элемент дуги.
| Циркуляцией скорости называют контурный интеграл вида:
 (2.11)
|
Обратим внимание на структуру этого соотношения. Оно построено аналогично выражению для работы, поэтому иногда говорят, что циркуляция - это своеобразная «работа» вектора скорости. Имея в виду, что 
и 
, по правилу скалярного произведения получим
(2.12)
Для плоского течения:
(2.13)
Ранее утверждалось, что понятие циркуляции с практической точки зрения является более удобным, чем интенсивность вихря. Действительно, из формулы (2.13) следует, что для определения циркуляции достаточно знать проекции скорости, нахождение которых не связано с существенными трудностями. Однако при этом остается пока открытым вопрос о том, существует ли связь между циркуляцией скорости и интенсивностью вихря.
15. 
; 
; 
Рассмотрим точку M на жидкой частице.
Линейная скорость этой частицы 
. Запишем выражения для проекций скоростей на оси координат: 
; 
; 
Откуда находим 
; 
.
Таким образом:
Аналогично для двух других компонент
; и 
Либо в векторной форме 
что полностью совпадает с (1.14).
Движение, при котором 
называют вихревым, если же 
- безвихревым, либо потенциальным. Высказанное означает, что если течение вихревое, то движение жидких частиц происходит с вращением.
Поиск по сайту: