Связь угловых деформаций жидкой частицы с производными скорости

Угловые деформации.

Из вышеприведенного рисунка следует, что угловая деформация (перекос граней и углов между ними) может возникнуть из-за разности скоростей, перпендикулярных ребрам. Для упрощения ограничим рассмотрение лишь одной гранью, показанной на следующем рисунке.

Пусть компоненты скорости в точке A равны, . Найдем скорости в точке B, считая, что движение установившееся и, следовательно, все производные по времени равны нулю. Приращение компоненты скорости при переходе из одной точки пространства в другую можно представить как u+du. Так для проекции можем записать , где, очевидно, что

(1.1)

Аналогичные выражения можно записать и для других проекций.

Рассмотрим приращение при переходе от точки A к точке B. В этом случае , т.е.

Предположим, что за время dt из-за разности скоростей в точках A и B ребро займет положение AB'.

Аналогично рассуждая относительно компоненты скорости в точках A и D, получим:

Точка A: (по условию)

Точка D:

В связи с разностью этих скоростей точка D займет позицию D'. Таким образом, получим:

18. Путь, который проходит точка B за время dt, попадая в положение B', определяет величину перекоса, которую можно найти как

Угловая деформация характеризуется тангенсом угла . При этом

(имея в виду, что ).

Вследствие малости угла можно считать, что .

Аналогично рассуждая, можно получить, что:

Полный перекос первоначально прямого угла A определится соответственно, как сумма: (1.2)

Здесь следует обратить внимание на одно весьма существенное обстоятельство, а именно: рассматриваемое перемещение ребер вызвано не только деформацией, но и вращением частицы.

Действительно, если бы грань только деформировалась без вращения, то ребра повернулись бы на одинаковый угол навстречу друг другу. Наоборот, в случае, если бы происходило только вращение, то ребра поворачивались бы на одинаковый угол в направлении вращения. Таким образом, в общем случае движение жидкого элемента можно рассматривать как сумму деформационного и вращательного движений, характеризуемых соответствующей комбинацией и . Рассмотрим деформацию прямого угла A, считая, что вращение происходит против часовой стрелки. Чисто деформационное движение будем характеризовать углами , а чисто вращательное - .

Из рисунка следует, что и т.е ,

откуда

(1.3)

Вычитая, получим (1.4)

Таким образом, приходим к выводу, что деформация характеризуется полусуммой углов, а вращение – их полуразностью. В соответствии с соотношением (1.2), можно записать: (1.5)

Таким образом, получим скорость угловой деформации, происходящей вокруг оси z (1.6)

И по аналогии относительно других осей: (1.7) (1.8)

По определению есть угловая скорость вращения жидкой частицы. Проекции угловых скоростей при этом определятся из формул:

(1.9) (1.10) (1.11)

18. Вышеприведенные соотношения играют исключительно важную роль в механике жидкости и газа. Они устанавливают связь между угловой и поступательной скоростями деформируемой жидкой частицы. Вопрос о знаках – это вопрос выбора. В гидромеханике обычно поворот против часовой стрелки считается положительным, по часовой - отрицательным.

В векторной форме выражение для угловой скорости может быть записано как:

(1.12)

Заменяя их выражениями из (1.9-1.11) получаем: (1.13)

Учитывая соотношения векторной алгебры (применительно к вектору скорости жидкой частицы), можем записать: (1.14)

либо (1.15)

Формула (1.15) раскрывает гидромеханический смысл вихря (ротора) векторного поля скоростей. Если характеризует поле мгновенных скоростей, то векторное поле представляет собой поле удвоенных угловых скоростей частиц жидкости этого поля.

Поиск по сайту: