 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Уравнение Бернулли для газового потока. Случаи адиабатического и изотермического течений
Уравнение энергии для 1кг газа:
В дифференциальной форме:
(1)
В соответствие с первым законом термодинамики тепло, подведённое к газу, может расходоваться только на повышение внутренней энергии и работы расширения (деформации):
(2)
Вычитая из (1) уравнения (2) получим:
или
– уравнение Бернулли в дифференциальной форме, так как: 
После интегрирования:
– обобщенное уравнение Бернулли.
В изотермическом процессе при P=rRT:
В адиабатическом процессе при 
:
Как было показано при рассмотрении модели вязкой жидкости, нормальные напряжения 
Для упрощения задачи будем считать жидкость несжимаемой (
), тогда 
(6.1)
Касательное напряжение
(6.2)
аналогично 
(6.3)
Суммируя (6.1), (6.2) и (6.3) и группируя члены, получаем: 
Третий член можно записать в виде: 
но жидкость несжимаема, и 
. Таким образом получаем: 
(6.4)
Выражение в скобках есть ни что иное, как оператор Лапласа - 
, а 
. Окончательно получаем:
(6.5)
Аналогично можно расписать и две другие проекции. Полученная система уравнений движения вязкой жидкости и носит название системы уравнений Навье-Стокса.В векторной форме можно записать 
(6.6)
Как следует из (6.6), это уравнение отличается от уравнения движения идеальной жидкости дополнительным членом (
), учитывающим действие сил вязкого трения.
Целью гидродинамического расчета является нахождение полей скоростей и давлений, т.е. в результате расчета должны быть найдены четыре величины: 
,, и p. Принципиально это оказывается возможным, так как три уравнения Навье-Стокса (в проекциях) плюс уравнение неразрывности образуют замкнутую систему. Плотность и вязкость, входящие в них, считаются известными, а проекции массовых сил (X, Y, Z) задаются условиями конкретной задачи.
С чисто математических позиций уравнения Навье-Стокса относится к классу нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Одно из наиболее неприятных из их свойств нелинейность, обусловленная наличием конвективных членов ускорения. Следует отметить, что до настоящего времени вследствие практически непреодолимых математических трудностей не получено ни одного общего решения уравнений Навье-Стокса в их полном виде, т.е. при сохранении всех конвективных членов и всех членов, учитывающих вязкость. Известны лишь отдельные частные решения.
Одним из основных граничных условий при интегрировании является условие «прилипания», т.е. равенство нулю скорости жидкости на стенке.
56. Изменение параметров газа при течении в трубе переменного сечения. Достижение сверхзвуковых скоростей с использованием сопла Лаваля.
Отсутствуют все прочие воздействия, кроме геометрического 
Уравнение газового потока имеет вид: 
. Для ускорения дозвукового потока необходимо сужение канала 
и при достижения критической скорости (M=1) необходимо расширение канала 
.
Параметры: 
Связь между скоростью потока и сечением сопла устанавливается уравнением неразрывности:
Учитывая, что 
и 
:
После подстановки: 
Из формулы видно, что безразмерное значение площади является функцией только числа Маха. Если задается конфигурация сопла, то можно указать, какое число Маха получится в любом сечении. Для одного и того же значения 
имеется два значения числа Маха: одно в дозвуковой, другое в сверхзвуковой области. А так как параметры потока однозначно зависят от числа Маха, то выбрав определенное произвольное сечение сопла (
) получим определенное значение числа Маха, которому соответствуют определенные значения температуры, давления, плотности: 
) на ее массовый расход (
). В справедливости этого легко убедиться непосредственно. Действительно, размерность удельной энергии - Дж/кг, размерность массового расхода - кг/с, их произведение 
Таким образом, выражение для потока энергии в единицу времени (мощности потока) через сечение элементарной струйки выглядит как: 
Соответствующая величина мощности всего потока, исходя из струйной модели, представляется выражением: 
И учитывая, что жидкость несжимаема: 
Поскольку поток жидкости плавно изменяющийся, то 
и, преобразуя выражение для потока энергии, получим: 
В полученном соотношении второй член представляет собой поток кинетической энергии, переносимой в единицу времени через сечение S.
Разделим обе части полученного уравнения на массовый расход Q, т.е. отнесем это соотношение, как и уравнение Бернулли для струйки, к единице массы. Таким образом, имеем 
Разделив и умножив третий член полученного выражения на квадрат средней скорости V2 учетом того, что 
, придем к соотношению: 
Обозначим выражение
тогда: 
Величина α носит название коэффициента кинетической энергии, либо коэффициента Кориолиса.
Разделив обе части последней формулы на ускорение свободного падения g, выразим это соотношение в размерностях длины, т.е. в форме напоров: 
Рассмотрим движение потока вязкой жидкости в канале от сечения 1-1 к сечению 2-2. Обозначим удельную энергию потока в сечении 1-1 через 
, а в 2-2 - 
.
Так как жидкость вязкая, то процесс ее перемещения сопровождается диссипацией, т.е. некоторая часть механической энергии необратимо расходуется на преодоление сил внутреннего трения и превращается в тепло, поэтому 
. Баланс энергии для выбранных сечений может быть записан в виде 
где 
- потери энергии на трение.
Раскрывая значения 
и 
, получаем: 
Это и есть энергетическая форма уравнения Бернулли для потока вязкой жидкости.
В практических приложениях чаще используют геометрическую форму уравнения Бернулли, выраженную в напорах 
где 
- потери напора.
Для газовых потоков (без учета сжимаемости), а также при расчетах систем гидравлического привода обычно используют уравнение Бернулли в форме давлений 
где 
- потери давления.
Обычно при этом член ρgz оказывается пренебрежимо малым по сравнению с остальными, и уравнение принимает вид:
Как уже упоминалось, коэффициент носит название коэффициента кинетической энергии или коэффициента Кориолиса. Для выяснения физического смысла этой величины рассмотрим кинетическую энергию секундной массы потока несжимаемой жидкости, определяемую истинным распределением скоростей в сечении, т.е.: 
Если бы скорости в сечении были бы распределены равномерно, то 
(V- средняя скорость в данном сечении), и кинетическая энергия потока была бы: 
Разделив одно выражение на другое, получим: 
Следовательно, коэффициент Кориолиса представляет собой отношение истинного потока кинетической энергии, вычисленной по неравномерному распределению скоростей, к потоку кинетической энергии, определенному по средней скорости. В этой связи можно утверждать, что αкорректирует ошибку, возникающую при вычислении кинетической энергии от замены истинного распределения скоростей условно равномерным. Очевидно, что его величина зависит от формы эпюры скорости, причем она всегда больше единицы. При ламинарном течении в трубах 
, при турбулентном 
. Следовательно, в турбулентном потоке скорости в поперечном сечении распределены существенно равномерней, чем в ламинарном (эпюра скоростей турбулентного потока более «наполненная»).
В технических расчетах часто употребляют понятия пьезометрического и гидравлического уклонов, определяемых соотношениями:
пьезометрический уклон –
;
гидравлический уклон –
,
где L – расстояние, отсчитываемое вдоль оси потока (строго говоря, вдоль линии тока).
Очевидно, что пьезометрический уклон равен гидравлическому уклону в случаях течения в цилиндрических трубах и равномерного течения в каналах, поскольку в этих течениях V=const. Отметим также, что гидравлический уклон суть величина существенно положительная, тогда как пьезометрический уклон может быть отрицательным (случай расширяющегося потока).
Дело в том, что при движении реальной вязкой жидкости возникают силы трения, на преодоление которых жидкость затрачивает энергию. В результате полная удельная энергия жидкости в сечении 1-1 будет больше полной удельной энергии в сечении 2-2 на величину потерянной энергии (рис.3.6).
Рис.3.6. Схема к выводу уравнения Бернулли для реальной жидкости
Потерянная энергия или потерянный напор обозначаются 
и имеют также линейную размерность.
Уравнение Бернулли для реальной жидкости будет иметь вид:
Из рис.3.6 видно, что по мере движения жидкости от сечения 1-1 до сечения 2-2 потерянный напор все время увеличивается (потерянный напор выделен вертикальной штриховкой). Таким образом, уровень первоначальной энергии, которой обладает жидкость в первом сечении, для второго сечения будет складываться из четырех составляющих: геометрической высоты, пьезометрической высоты, скоростной высоты и потерянного напора между сечениями 1-1 и 2-2.
Кроме этого в уравнении появились еще два коэффициента α1 и α2, которые называются коэффициентами Кориолиса и зависят от режима течения жидкости (α = 2 для ламинарного режима, α = 1 для турбулентного режима).
Потерянная высота складывается из линейных потерь, вызванных силой трения между слоями жидкости, и потерь, вызванных местными сопротивлениями (изменениями конфигурации потока)
= hлин + hмест
С помощью уравнения Бернулли решается большинство задач практической гидравлики. Для этого выбирают два сечения по длине потока, таким образом, чтобы для одного из них были известны величины Р, ρ, g, а для другого сечения одна или величины подлежали определению. При двух неизвестных для второго сечения используют уравнение постоянства расхода жидкости υ1ω 1 = υ2ω2.
-------------------------------------------------------------------------------
34. Шероховатость, ее проявления при течении по трубам, понятие эквивалентной шероховатости. Квадратичная зона сопротивления.
Шероховатость поверхности —совокупность неровностей поверхности с относительно малыми шагами на базовой длине. Она обуславливает существование нескольких режимов турбулентности:
турбулентная гидравлически гладкая труба, ее границы 2320<Re< 20 
, где 
- шероховатость трубы.
Доквадратичная зона (турбулентное проявление шероховатости) 20 <Re< 500 ,
И квадратичная зона Re 
500
На практике пользуются эквивалентной шероховатостью, под которой понимают такую высоту песчинок в опытах Никурадзе, которая создает сопротивление, равное (или эквивалентное) сопротивлению данного действительного трубопровода.
Квадратичная зона сопротивления –одна из 3-х зон,когда дальнейший рост скорости приведет к дальнейшему уменьшению толщины пограничного слоя. Выступы начинают выходить за пределы пограничного слоя, а сопротивление определяется только высотой микронеровностей. Обтекание выступов начинает носить ярко выраженный отрывной характер. Значение коэффициента линейного сопротивления зависит только от шероховатости и не зависит от числа Рейнольдса.
Сила инерции, по 2-му закону Ньютона, выражается формулой 
. Если выполнить оценку величины этой силы, используя характерные масштабы плотности - ρ, скорости - u, расстояния – l, времени – t, то получим 
Учитывая, что 
есть не что иное, как скорость, оценка силы инерции: 
Сила вязкого трения (по известной формуле Ньютона): 
Выполняя оценки аналогично предыдущим, получаем 
и безразмерный комплекс, характеризующий устойчивость течения, приобретает вид: 
В дальнейшем это соотношение получило название числа, или критерия Рейнольдса, т.е.: 
где u - характерная скорость течения; l - характерный линейный размер.
Для круглых труб характерный размер – их диаметр, характерной скоростью является средняя скорость. С учетом этого, имея в виду, что 
, выражение для критерия Рейнольдса принимает вид: 
Одним из наиболее существенных результатов являлось то, что переход от ламинарного течения к турбулентному происходил при одном и том же численном значении введенного им критерия, названного впоследствии критическим значением числа Рейнольдса (Re). По данным многочисленных опытов в круглых трубах Reкр 
2300. Это так называемое нижнее критическое число Рейнольдса, которое получают, если не принимать специальных мер по стабилизации потока. При принятии таких мер, переход к турбулентному режиму течения можно существенно затянуть. В технических расчетах принято, что, если число Рейнольдса, вычисленное по фактическим значениям параметров, меньше Reкр =2300, то режим ламинарный, и наоборот.
Структуры ламинарного и турбулентного потоков различны, турбулентные пульсации порождают добавочные касательные напряжения и обуславливают увеличение потерь энергии в турбулентных потоках по сравнению с ламинарными течениями. Соответственно, характер закономерностей, определяющих потери энергии, зависит от значения числа Re, причем в некоторых случаях удается получить эти закономерности аналитически, а в других – приходится, пользуясь опытными данными, конкретизировать формулы эмпирическими коэффициентами.
| Итак, рассмотрим установившееся ламинарное течение в горизонтальной трубе радиуса R, происходящее под действием постоянного перепада давления (см. рисунок). |
Двумя сечениями, отстоящими на расстоянии l друг от друга, выделим отсек трубопровода, и в нем цилиндр радиуса r. Так как течение установившееся, то сумма проекций на ось трубы всех сил, действующих на выделенный жидкий цилиндр, должна быть равна нулю. Иначе говоря, силам давления, приводящим частицы жидкости в движение, противодействуют силы трения, действующие на боковой поверхности цилиндра.
Сила давления: 
.
Сила сопротивления (трения слоев жидкости): 
,
где τ - касательное напряжение трения.
Таким образом: 
и 
Откуда, в частности, следует, что касательные напряжения изменяются вдоль радиуса по линейному закону. В соответствии с формулой Ньютона для вязкости жидкости касательные напряжения определяются соотношением: 
Знак «минус» в этом выражении объясняется тем, что касательные напряжения направленыпротивоположно течению.
Приравнивая правые части вышеуказанных формул, получаем: 
Разделяя переменные 
и интегрируя, получим: 
Постоянная интегрирования находится из условия прилипания (слой жидкости, непосредственно прилегающий к стенке, не имеет скорости относительно стенки – «прилипает» к ней),
т.е. при 
и соответственно 
Окончательно: 
либо 
Как следует из полученного соотношения, максимальная скорость движения частиц будет иметь место на оси трубы, т.е. при 
, а ее величина 
Подставляя полученную зависимость в предыдущее выражение, получим 
Таким образом, в поперечном сечении трубы скорости распределены по параболическому закону, т.е. эпюра скоростей представляет собой параболоид вращения.
Выражение для эпюры скоростей можно представить в виде 
,
из чего следует, что безразмерная скорость (отношение скорости в любой точке сечения к скорости на оси потока) при ламинарном течении в трубе не зависит от расхода, рода жидкости, материала стенок трубы и при всех значениях 
в сходственных точках поперечного сечения она одинакова.
Определим расход, протекающий через трубопровод. 
Где u(r) - эпюра скоростей, а 2πrdr – площадь кольца, радиусом r и толщиной dr, в пределах которого скорость можно считать постоянной (величина dr – суть бесконечно малая).
Подставляя выражение для эпюры скоростей, получим: 
Интегрируя по сечению трубы и имея в виду соотношение для скорости на оси трубы: 
,
Полученное соотношение носит название формулы Хагена-Пуазейля, из него следует, в частности, что 
Используя вышеприведенную формулу, можно получить уравнение для определения потерь давления при ламинарном режиме течения в круглой трубе: 
Либо, заменив радиус трубы ее диаметром, получим: 
Для потерь напора с учетом того, что 
, формула принимает вид: 
Важнейший вывод, следующий из этого соотношения, можно сформулировать так: потери давления (напора) при ламинарном течении в круглых трубах линейно зависят от средней скорости.
Преобразуем полученное соотношение, а именно, умножим числитель и знаменатель на 2V, что дает: 
Несколько забегая вперед, заметим, что полученное соотношение отражает закон сопротивления для ламинарного течения в круглой трубе: 
, где λ – коэффициент гидравлического сопротивления, определяемый формулой Дарси-Вейсбаха: 
Прямая I соответствует ламинарному режиму движения жидкости.
Далее на графике можно рассматривать три области.
Первая область - область малых Re и Δ/r0, где коэффициент λ не зависит от шероховатости, а определяется лишь числом Re (отмечена на рис. прямой II). Это область гидравлически гладких труб. Если число Рейнольдса лежит в диапазоне 4000 < Re < 10(d / Δ э) коэффициент λ определяется по полуэмпирической формуле Блазиуса
Во второй области, расположенной между линий II и пунктирной линией справа, коэффициент λ зависит одновременно от двух параметров - числа Re и относительной шероховатости Δ/r0, которую можно заменить на Δэ. Для определения коэффициента λ в этой области может служить универсальная формула А.Д. Альтшуля:
где Δэ - эквивалентная абсолютная шероховатость.
Третья область - область больших Re и Δ/r0, где коэффициент λ не зависит от числа Re, а определяется лишь относительной шероховатостью (область расположена справа от пунктирной линии). Это область шероховатых труб, в которой все линии с различными шероховатостями параллельны между собой. Эту область называют областью автомодельности или режимом квадратичного сопротивления, т.к. здесь гидравлические потери пропорциональны квадрату скорости.
Определение λ для этой области производят по упрощенной формуле Альтшуля:
Формула Вейсбаха— эмпирическая формула, определяющая потери напора или потери давления при развитом турбулентном течении несжимаемой жидкости на гидравлических:
Где:
потери напора на гидравлическом сопротивлении
коэффициент потерь (коэф.Дарси)
V – средняя скорость течения жидкости
– скоростной (динамический) напор
- формула Вейбаха, определяющая потери давления на гидравлических
– потери давления на гидравлическом сопротивлении
, 
, 
,
где u,υ,w, - действительные (актуальные) мгновенные скорости потока в данной точке, 
, , - осредненные во времени скорости, u’, v’, w’, - отклонения действительных скоростей от осредненных, или пульсации скоростей. Отметим лишь некоторые свойства этого преобразования.
Если в результате осреднения какой-либо характеризующей течение функции, проведенного в данной точке в разные моменты времени, получаются те же значения осредненной функции, то такое осредненное течение называется стационарным, а само турбулентное движение – квазистационарным.
, 
, 
В дальнейшем будем иметь дело исключительно с квазистационарными турбулентными движениями, и осредненное значение будет функцией только координат. При этом, если является еще одной пульсирующей функцией времени и координат, то, очевидно, что 
. Из определения операции осреднения следует также, что среднее значение производной от некоторой функции по координате равно производной от среднего значения этой функции: 
. Этим свойством обладает и производная по времени: .
Используя указанные свойства операции осреднения можно получить дифференциальные уравнения осредненного движения несжимаемой вязкой жидкости. Возьмем для примера уравнение движения Навье-Стокса лишь для одной проекции скорости (на ось х) и уравнение несжимаемости:
путём некоторых преобразований получим:
Проделав те же операции с двумя другими уравнениями Навье-Стокса для проекций скорости можно получить еще два дифференциальных уравнения осредненного движения. Совместно с осредненным уравнением неразрывности они образуют систему уравнений Рейнольдса для осредненных скоростей и давления в турбулентных течениях.
Сопоставив эти уравнения с общими уравнениями в напряжениях:
можем представить себе правые части системы осредненных уравнений как результат подстановки на место pxx, pyx,
и т.д. суммы вязких напряжений, определенных обобщенным законом Ньютона и дополнительных турбулентных напряжений, возникающих за счет наличия в потоке пульсаций:
и т.д., причем эти дополнительные турбулентные напряжения, получившие название Рейнольдсовых, образуют, так же как вязкие напряжения, симметричный тензор второго ранга: 
Представим, что турбулентные напряжения подчинены закону, аналогичному обобщенному закону Ньютона, тогда, например, в случае плоского прямолинейного и параллельного оси х осредненного течения со скоростью , являющейся функцией только от y получим: 
Рассмотрим мгновенное закрытие затвора:
пусть имеем открытый резервуар, от которого отводится гидравлическая прямолинейная труба; на некотором расстоянии от резервуара труба имеет затвор. Что произойдет при его мгновенном закрытии?
Во-первых, пусть:1) резервуар настолько велик, что процессы, происходящие в трубопроводе, в жидкости (в резервуаре) не отражаются;2) потери напора до закрытия затвора ничтожны, следовательно, пьезометрическая и горизонтальная линии совпадают
3) давление жидкости в трубопроводе происходит только с одной координатой, две другие проекции местных скоростей равны нулю; движение определяется только продольной координатой.
Во-вторых, теперь внезапно закроем затвор – в момент времени t0; могут произойти два случая:
1) если стенки трубопровода абсолютно неупругие, т. е. Е = ∞, и жидкость несжимаема (Еж = ∞), то движение жидкости также внезапно останавливается, что приводит к резкому росту давления у затвора, последствия могут быть разрушительны.
Приращение давления при гидравлическом ударе по формуле Жуковского:
Δp = ρСυ0+ ρυ02.
48. Гипотеза Прандтля для пути перемешивания в турбулентных течениях.
Л.Прандтлем в 1925 году было введено понятие так называемого пути перемешивания(смешения). В соответствии с гипотезой Прандтля, каждый турбулентный моль (вихрь) жидкости переносит некоторое количество движения, которое сохраняется постоянным на длине пути перемешивания. Другими словами, длина пути перемешивания в некоторой мере аналогична длине свободного пробега молекул в кинетической теории газов, и определяет путь, который проходит моль жидкости, прежде чем он перемешается с другими жидкими образованиями и передаст свой импульс. Такого рода перемешивание – его называют турбулентным перемешиванием – сопровождается переносом сквозь границу между слоями жидкости импульса, энергии, тепла, различных примесей и т.д. При этом перенос импульса обусловливает трение между слоями, перенос тепла – турбулентную теплопроводность, перенос примесей – турбулентную диффузию. Механизм этого турбулентного перемешивания (переноса) одинаков для любой субстанции.
где V — средняя скорость потока, м/с;
C — коэффициент сопротивления трения по длине (коэффициент Шези), являющийся интегральной характеристикой сил сопротивления;
R — гидравлический радиус, м;
I — гидравлический уклон м/м.
Второй пьезометр показывает высоту на ΔH большую, чем первый; но если бы потерь напора в данном месте не было, то второй пьезометр показал бы высоту большую еще на hрасш. Эта высота и есть местная потеря напора на расширение, которая определяется по формуле:
Выражение (1 - S1/S2)^2 обозначается греческой буквой ζ (дзета) и называется коэффициентом потерь, таким образом 
2) Внезапное сужение русла. В этом случае потеря напора обусловлена трением потока при входе в более узкую трубу и потерями на вихреобразование, которые образуются в кольцевом пространстве вокруг суженой части потока
Полная потеря напора определится по формуле:
где коэффициент сопротивления сужения определяется:
3) Внезапный поворот трубы (колено). Данный вид местного сопротивления вызывает значительные потери энергии, т.к. в нем происходят отрыв потока и вихреобразования, причем потери тем больше, чем больше угол δ. Потерю напора рассчитывают по формуле
где ζкол - коэффициент сопротивления колена круглого сечения, который определяется по графику в зависимости от угла колена δ.
