Вопрос 24. Локальные свойства непрерывных функций: локальная ограниченность, устойчивость знака и сохранение непрерывности при арифметических операциях

Achtung!!! В начале лекции в тетради есть пустое место, однако информации, что же здесь должно быть, мне получить не удалось.

Теорема 1. Локальная ограниченность функции, непрерывной в точке.

Функция f(x), непрерывная в точке a, ограничена в некоторой U(a), т.е.

Доказательство:

Согласно свойству локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел:

. Переходя к пределу: Теорема доказана.

Теорема 2 об устойчивости знака непрерывной функции. Если f(x) непрерывна в точке a и , то , в которой f(x) сохраняет знак.

Доказательство: не теряя общности (доказательства), можно считать, что f(a)>0 (g(x)=-f(x)). Берем

Теорема 3. Сохранение свойства непрерывности при арифметических операциях над функциями.

Пусть f(x) и g(x) непрерывны в точке

Тогда:

1. f(x)+g(x)

2. f(x)-g(x)

3. f(x)∙g(x)

4. f(x)/g(x) (при )

непрерывны в точке a.

Доказательство (доказываем 3-е утверждение): пусть .

Тогда Теорема доказана.

Пример: алгебраический многочлен , где

Т.к. если

непрерывен на ℝ как сумма конечного числа непрерывных функций.

Теорема 4. Непрерывность сложной функции

(Функции, образованные в результате суперпозиции (т.е. последовательного применения) двух или нескольких функций, называются сложными)

Пусть:

1) функция t=g(х) непрерывна в точке хₒ;

2) функция y=fty) непрерывна в точке tₒ=g(xₒ);

Тогда

функция f(g(x)) непрерывна в точке хₒ

Доказательство

Возьмем число >0. Так как функция непрерывна в точке то можно подобрать такое число , что

для любого , такого, что . (1)

А так как функция непрерывна в точке , то для положительного числа можно подобрать такое число , что

для любого , такого, что . (2)

Возьмем любое число такое, что . Тогда в силу (2) число удовлетворяет неравенству , и поэтому в силу (1) . Так как все эти вычисления проведены для любого >0, то непрерывность функции в точке доказана.

Замечания

1. При доказательстве теоремы 4 мы использовали определение непрерывности функции в точке по Коши

Пример

Используя теорему 4, докажем, что функция z=cos(x) непрерывна для любого хₒ из R

Z=cos(x)=sin(π/2 – x), где (π/2 – x) = y

z(f) = f(φ(x)), где φ(x) = (π/2 – x) непрерывна в любом хₒ из R

f(y) =sin(y) непрерывна в любом уₒ из R

sin(π/2)cos(x) – cos(π/2)sin(x)

‖ ‖

1 0

Замечательные пределы

Теорема 1 (первый замечательный предел)

Лемма При 0<|x|<π/2 → cos(x) < sin(x)/x <1

Доказательство

1) пусть х находится (0; π/2)

BC=sin(x) DA=tg(x) 2S(AOB) = OA*BC = 1*sin(x) = sin(x) 2S(OAD) = OA*AD = 1*tg(x) = tg(x) sin(x) < x < tg(x)

или

2) x из (-π/2; 0)

cos(x) = |cos(x)| < sin|x|/|x| = sin(x)/x <1 чтд

Доказательство теоремы 1

Функции f1(x)=cos(x), g(x)=sin(x)/x, f2(x)=1 в проколотой окрестности π/2 точки (0) удовлетворяют правилу о двух милиционерах

т.к.

=1

то существует

Теорема 2 Второй замечательный предел

.

На первый взгляд кажется, что при имеет пределом единицу (так как 1+ при имеет пределом единицу, а единица в любой степени есть единица). Но в степень возводится 1+ , а не единица. И вот из-за этой бесконечно малой добавки предел не равен единице. Чтобы приблизительно представить себе поведение функции при малых приведем таблицу значений этой функции:

	1/2	1/3	1/4	0.01	0.001
	2.25	2.37…	2.44…	2.7047…	2.7169…

Из этой таблицы видно, что с уменьшением функция увеличивается. Оказывается, что это имеет место для всех >0, а из этого следует, что функция имеет предел.

Доказательство: Рассмотрим этот предел, как предел функции натурального аргумента на бесконечность. Тогда:

По определению Гейне:

= =

Вычислим . Рассмотрим = = .

По определению Гейне рассмотрим .

*

То есть = = = .

Также = = =

=

9.5.Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Определение.

f(x)- называется непрерывной на отрезке [a;b], если:

1) f(x) непрерывна в любой точке y

2) f(x) непрерывна справа в точке a

3) f(x) непрерывна слева в точке b

f(a+0)=f(a)

f(b-0)=f(b)

Поиск по сайту: