Вопрос 6. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей

Лемма 1. Б.м.п. – ограничена.

Доказательство: Пусть б.м.п. Возьмём в определение для бесконечно малых последовательностей : для

М=max ,

М=max ,… + 1

Лемма 2.

1) Если для , то – б.б.п.

2) Если – б.б.п. и – б.м.п.

Доказательство:

1) Пусть А – произвольное положительное число подставим в определение б.м.п. для : Для при

2) Фиксируем произвольную А= подставляем в определение 2 для А= =

Лемма 3

1) – б.м.п. –б.м.п.

2) сумма разность 2-х б.м.п. = б.м.п.

Доказательство:

1) Определение того, что и последовательность из модуля

2) и

Для :

Для :

Фиксируем произвольно и положим = и =max ,

Очевидно, что при n N выполняется неравенство:

Следствие: Алгебраическая сумма любого конечного числа б.м.п. – б.м.п.

Доказательство: методом математической индукции.

Лемма 4. Произведение ограниченной последовательности и б.м.п.= б.м.п.

Доказательство:

Для : для

Фиксируем произвольно = ч.т.д.

Следствие 1 Произведение 2-х б.м.п.=б.м.п.

Доказательство: б.м.п. по Лемме 1 можно взять за ограниченную.

Следствие 2 Произведение любого количества б.м.п.= б.м.п.

Доказательство: методом математической индукции.

Лемма5. Если = …

Доказательство: Для : для положительного числа.

Предел числовой последовательности. Единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности.

Определение: последовательность {x_n} называют сходящейся, если такое, что последовательность { x_n - a} - бесконечно малая последовательность. В этом случае говорят что последовательность {x_n} сходится (к числу а), или имеет предел, который равен а.

() или (x_n→a при n→∞)

На «έ - языке»:

() ó Для

Замечание: ó ó

В терминах окрестностей: (У МЕНЯ В КОНСПЕКТЕ НЕТ, в ПДФ СИМУШЕВА ЭТОГО ТОЖЕ НЕТ)

Пример: Доказать, что

Замечание:

1) согласно определению ó () – бесконечно малая последовательность => (a + альфа энное).

2) Добавление или отбрасывание у последовательности любого конечного числа членов не влияет на существование предела последовательности и его величину.

Теорема 1: сходящаяся последовательность {x_n} имеет единственный предел.

Доказательство: пусть и b≠a. Докажем, что b не может быть пределом. Возьмём

;

для ; .

Вне этой окрестности может лежать лишь конечное число членов этой последовательности, поэтому в может лежать лишь конечное число членов, отсюда b не является пределом.

Теорема 3: сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство: фиксируем

M=max .

Замечание: не всякая ограниченная последовательность сходится.

Предел числовой последовательности. Единственность предела. Ограни­ченность сходящейся последовательности.

Определение: функцию называют числовой последовательностью.

- члены числовой последовательности.

- номер члена числовой последовательности. или , = , -общий член.

Определение: Число называется пределом последовательности (пишут ), если для любого положительного числа ( >0) можно указать такое число , зависящее от , что для всех .

Теорема: (о единственности предела): Если -сходящаяся, то предел единственный.

Доказательство:

Пусть , , .

Для определенности имеем:

Теорема: (об ограниченности сходящейся последовательности): Если -сходится, то она ограничена.

- сходящаяся : .

Возьмем =1 .

Обозначим , тогда

, тогда

Отсюда для обоих случаев

Замечание: обратное не верно.

Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями.

Теорема 1: если {x_n} и {y_n} сходятся, то сходятся последовательности, являющиеся их суммой, разностью и произведением, причём:

1)

2)

3)

Пусть => ; где { },{ } – бесконечно малые последовательности.

1-2)

3)

=>

Ч.т.д.

Лемма: Пусть {y_n} – сходится, причём и ()

Тогда ограничена.

Для

; ; ; M=max

Теорема 2: если {x_n} и {y_n} сходятся, причём =a, и (при n N), то сходится к (предел отношения равен отношению пределов).

Доказательство: – бесконечно малая последовательность ( – ограниченная последовательность, - бесконечно малая)

Теорема об арифметике пределов последовательностей.

Пусть , . Тогда: 1) существует 2) существует

3) если то существует .

Доказательства:

где и - бесконечно малые последовательности.

1)

бесконечно малые.

бесконечно малые.

2) =

бесконечно малая бесконечно малая

бесконечно малая

3) где

- бесконечно малая последовательность.

По условию

-ограниченная. бесконечно малая. .

9.Свойства сходящихся последовательностей: предельный переход в неравенствах.

Теорема 1.

Пусть и для (или )

Тогда a b

Доказательство:

(от противного)

Пусть , выберем , тогда, поскольку { } и { } сходятся, то:

, для

, для

Определим , }

Мы пришли к противоречию, теорема доказана.

Следствие 1

Пусть 1)

2) для (или )

Тогда a=b

Доказательство: { } по теореме 1

Следствие 2

Пусть 1)

2) для (или )

Тогда a=b

Доказательство: { } по теореме 1

Следствие 3

Пусть 1) для

2)

Тогда c=[a, b]

Теорема 2. О промежуточных значениях

Пусть 1) для

2)

Тогда

Доказательство:

, Ч.Т.Д.

10.Монотонные последовательности. Признак Вейерштрасса сходимости монотонной последовательности.

Определение.

Последовательность { } является:

1) Невозрастающей, если ;

2) Неубывающей, если ;

3) Убывающей, если ;

4) Возрастающей, если .

1-4 являются монотонными последовательностями, притом 3 и 4 – строго монотонными.

Замечания:

(невозрастающая последовательность) и (убывающая последовательность) ограничены сверху числом ;

Остальные ограничены снизу числом .

Примеры:

{ } – убывающая последовательность;

{1;1;2;2;3;3;…} – неубывающая последовательность.

Теорема Вейерштрасса

1) Неубывающая и ограниченная сверху последовательность { } сходится, причем

2) Невозрастающая и ограниченная снизу последовательность { } сходится, причем

1) { } ограничена сверху;

2) По определению точной верхней грани для

3) Т.к. последовательность не убывающая, то для выполняется неравенство:

Следовательно,

А значит, что а также

Ч.Т.Д.

Поиск по сайту: