|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Вопрос 6. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностейЛемма 1. Б.м.п. – ограничена. Доказательство: Пусть М=max М=max Лемма 2. 1) Если 2) Если Доказательство: 1) Пусть А – произвольное положительное число 2) Фиксируем произвольную Лемма 3 1) 2) сумма Доказательство: 1) Определение того, что 2) Для Для Фиксируем произвольно Очевидно, что при n Следствие: Алгебраическая сумма любого конечного числа б.м.п. – б.м.п. Доказательство: методом математической индукции. Лемма 4. Произведение ограниченной последовательности и б.м.п.= б.м.п. Доказательство: Для Фиксируем произвольно Следствие 1 Произведение 2-х б.м.п.=б.м.п. Доказательство: б.м.п. по Лемме 1 можно взять за ограниченную. Следствие 2 Произведение любого количества б.м.п.= б.м.п. Доказательство: методом математической индукции. Лемма5. Если Доказательство: Для
Предел числовой последовательности. Единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности. Определение: последовательность {xn} называют сходящейся, если ( На «έ - языке»: ( Замечание: В терминах окрестностей: (У МЕНЯ В КОНСПЕКТЕ НЕТ, в ПДФ СИМУШЕВА ЭТОГО ТОЖЕ НЕТ)
Замечание: 1) согласно определению 2) Добавление или отбрасывание у последовательности любого конечного числа членов не влияет на существование предела последовательности и его величину. Теорема 1: сходящаяся последовательность {xn} имеет единственный предел. Доказательство: пусть
Вне этой окрестности может лежать лишь конечное число членов этой последовательности, поэтому в Теорема 3: сходящаяся последовательность ограничена. Доказательство: фиксируем M=max
Предел числовой последовательности. Единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности. Определение: функцию
Определение: Число Теорема: (о единственности предела): Если
Пусть Для определенности Теорема: (об ограниченности сходящейся последовательности): Если
Возьмем Обозначим
Отсюда для обоих случаев Замечание: обратное не верно. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями. Теорема 1: если {xn} и {yn} сходятся, то сходятся последовательности, являющиеся их суммой, разностью и произведением, причём: 1) 2) 3) Пусть 1-2) 3)
Тогда Для
Теорема 2: если {xn} и {yn} сходятся, причём Доказательство: Теорема об арифметике пределов последовательностей.
Пусть 3) если Доказательства:
1) бесконечно малые.
бесконечно малая бесконечно малая бесконечно малая 3)
По условию
9.Свойства сходящихся последовательностей: предельный переход в неравенствах. Теорема 1. Пусть Тогда a Доказательство: (от противного) Пусть
Определим Мы пришли к противоречию, теорема доказана. Следствие 1 Пусть 1) 2) для Тогда a=b Доказательство: { Следствие 2 Пусть 1) 2) для Тогда a=b Доказательство: { Следствие 3 Пусть 1) для 2) Тогда c=[a, b] Теорема 2. О промежуточных значениях Пусть 1) для 2) Тогда Доказательство:
10.Монотонные последовательности. Признак Вейерштрасса сходимости монотонной последовательности. Определение. Последовательность { 1) Невозрастающей, если 2) Неубывающей, если 3) Убывающей, если 4) Возрастающей, если 1-4 являются монотонными последовательностями, притом 3 и 4 – строго монотонными. Замечания:
Остальные ограничены снизу числом Примеры: { {1;1;2;2;3;3;…} – неубывающая последовательность. Теорема Вейерштрасса 1) Неубывающая и ограниченная сверху последовательность { 2) Невозрастающая и ограниченная снизу последовательность {
Рассмотрим последовательность ![]()
1) { 2) По определению точной верхней грани для 3) Т.к. последовательность Следовательно, А значит, что Ч.Т.Д.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.027 сек.) |