Вопрос 11. Бином Ньютона. Свойство биномальных коэффициентов. Треугольник Паскаля

Определение. Факториалом целого неотрицательного числа n называется число n! (читается: эн факториал).

Определение по формуле: n!= n(n-1)(n-2) ∙ … ∙ 2 ∙ 1, если n N

1, если n=0

Примеры. 0!=1, 1!=1, 2!=2 ∙ 1=2, 3!=3∙2∙1=6.

Теорема. Имеет место равенство называемое формулой бинома Ньютона

где

Лемма. При 0 ≤ k ≤ n-1 биноминальные коэффициенты удовлетворяют равенству

Док-во леммы.

Замечание. Учитывая приведенную лемму, биноминальные коэффициенты можно записать в виде треугольника Паскаля

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

n = 5

n = 6

n = 7

n = 8

Док-во теоремы проведем методом математической индукции

1) При n = 1 формула верна: (a+b)¹ = 1∙a+1∙b, т.к. С⁰₁=С¹₁=1

2) Пусть формула Бинома Ньютона справедлива при n=m, где m≥1

3) Докажем, что она верна и при n=m+1:

Примеры. (a+b)²=a²+2ab+b²

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

(a+b)⁴=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵

Вопрос 12. Число е.

Теорема. Последовательность x_n=(1+1/n)ⁿ имеет (конечный) предел.

Замечание. Предел последовательности равен е.

=2,718281828459…. – число Непера

Док-во.

1)k!=k(k-1)(k-2)∙…∙2∙1≥2^k-1 для k≥1

2) Докажем, что последовательность возрастает. Применим формулу бинома Ньютона.

Все слагаемые – положительные, причем каждое слагаемое из x_n меньше слагаемого из x_n+1. Кроме того, число слагаемых в x_n+1 на одно больше.

Значит, при n≥2 x_n<x_n+1, т.е функция возрастающая.

3)Докажем, что функция ограничена.

1) x_n возрастающая функция и ограничена сверху числом 3

ВОПРОС №13

ПРИНЦИП КОШИ-КАНТОРА ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКОВ. ЛЕММА КАНТОРА (С ДОКАЗАТЕЛЬСТВОМ).

Опр. Последовательность отрезков ∆n=[a_n, b_n] называется стягивающейся, если:

1)Каждый последующий отрезок принадлежит предыдущему (вложенные отрезки), т.е.:

n є N => ∆_n+1<∆_n

2)Длина n-го отрезка ∆_n стремится к нулю при n→∞(т.е. =0).

ЛЕММА КАНТОРА.

Последовательности стягивающихся отрезков имеют единственную общую точку.

Доказательство

1)Существование:

Рассмотрим два множества (две последовательности) A={a_n} и B={b_n}. Условие вложенности отрезков означает, что a₁≤a₂≤...≤a_n≤a_n+1≤...≤b_n+1≤b_n≤...≤b₂≤b₁, поэтому для любых n,m є N выполняется неравенство a_n≤b_m. Согласно свойству непрерывности действительных чисел, точка сєR, разделяющая множества A и В: a_n ≤ c ≤ b_m для n,mєN, в частности, a_n ≤ c ≤ b_n для nєN, т.е. c є∆_n для nєN.

2)Единственность (доказательство от противного):

Предположим, что две различные точки c1 и c2 (c1<c2), принадлежащие всем отрезкам последовательности {∆_n}.

Тогда при nєN, выполняются неравенства

a_n≤c₁<c₂≤b_n => (b_n-a_n)≥(c₂-c₁)= l>0.

Откуда получаем (предельным переходом в неравенстве) 0= ≥ l>0.

Получившееся противоречие доказывает единственность.

Ч.Т.Д.

Замечание:

В лемме Кантора рассматривается бесконечная система вложенных отрезков, а не интервалов - это существенно. Для системы стягивающихся интервалов теорема неверна: ∆_n=(0;1/n] => n _n= .

Поиск по сайту: